Ii CAL1 • Derivacion

CALC_LIM_027

Schaum - Cálculo Diferencial e Integral

1433 / 2224

Enunciado

Calcular el incremento de la función $\Delta y$ y la razón de incrementos $\Delta y / \Delta x$, dados:
  1. [(a)] $y = 2x - 3$ y $x$ cambia de $3.3$ a $3.5$.
  2. [(b)] $y = x^2 + 4x$ y $x$ cambia de $0.7$ a $0.85$.
  3. [(c)] $y = 2/x$ y $x$ cambia de $0.75$ a $0.5$.

Solución Paso a Paso

1. Datos y Fórmulas:
El incremento de una variable $x$ se define como $\Delta x = x_2 - x_1$.
El incremento de la función $y = f(x)$ se define como:
$$ \Delta y = f(x_2) - f(x_1) = f(x + \Delta x) - f(x) $$
La razón de incrementos es el cociente $\frac{\Delta y}{\Delta x}$.

2. Desarrollo paso a paso:

Inciso (a): $y = 2x - 3$ desde $x_1 = 3.3$ hasta $x_2 = 3.5$.
  • Calculamos $\Delta x$: $\Delta x = 3.5 - 3.3 = 0.2$.
  • Calculamos $y$ en los puntos:
    $$ f(3.5) = 2(3.5) - 3 = 7 - 3 = 4.0 $$
    $$ f(3.3) = 2(3.3) - 3 = 6.6 - 3 = 3.6 $$
  • Calculamos $\Delta y$: $\Delta y = 4.0 - 3.6 = 0.4$.
  • Calculamos $\frac{\Delta y}{\Delta x}$: $\frac{0.4}{0.2} = 2$.


Inciso (b): $y = x^2 + 4x$ desde $x_1 = 0.7$ hasta $x_2 = 0.85$.
  • Calculamos $\Delta x$: $\Delta x = 0.85 - 0.7 = 0.15$.
  • Calculamos $y$ en los puntos:
    $$ f(0.85) = (0.85)^2 + 4(0.85) = 0.7225 + 3.4 = 4.1225 $$
    $$ f(0.7) = (0.7)^2 + 4(0.7) = 0.49 + 2.8 = 3.29 $$
  • Calculamos $\Delta y$: $\Delta y = 4.1225 - 3.29 = 0.8325$.
  • Calculamos $\frac{\Delta y}{\Delta x}$: $\frac{0.8325}{0.15} = 5.55$.


Inciso (c): $y = 2/x$ desde $x_1 = 0.75$ hasta $x_2 = 0.5$.
  • Calculamos $\Delta x$: $\Delta x = 0.5 - 0.75 = -0.25$.
  • Calculamos $y$ en los puntos:
    $$ f(0.5) = \frac{2}{0.5} = 4 $$
    $$ f(0.75) = \frac{2}{3/4} = \frac{8}{3} $$
  • Calculamos $\Delta y$: $4 - \frac{8}{3} = \frac{12-8}{3} = \frac{4}{3}$.
  • Calculamos $\frac{\Delta y}{\Delta x}$: $\frac{4/3}{-1/4} = -\frac{16}{3}$.


3. Resultado Final:
$$ \boxed{(a) \, 0.4 \text{ y } 2; \quad (b) \, 0.8325 \text{ y } 5.55; \quad (c) \, \frac{4}{3} \text{ y } -\frac{16}{3}} $$

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