Iv
CAL1 • Limites_continuidad
CALC_LIM_024
Análisis Matemático
Enunciado
Paso 1:
Demuestre: Si $f(x)$ está definida para todo $x$ cerca de $x = a$ y tiene un límite cuando $x \to a$, dicho límite es único. (Sugerencia: Suponga que $\lim_{x \to a} f(x) = A$, $\lim_{x \to a} f(x) = B$, con $B \neq A$. Elija $\epsilon_1, \epsilon_2 < \frac{1}{2} |A - B|$. Determine $\delta_1$ y $\delta_2$ para los dos límites y tome $\delta$ como el menor entre $\delta_1$ y $\delta_2$. Muestre que entonces $|A - B| = |[A - f(x)] + [f(x) - B]| < |A - B|$, lo cual es una contradicción).
Demuestre: Si $f(x)$ está definida para todo $x$ cerca de $x = a$ y tiene un límite cuando $x \to a$, dicho límite es único. (Sugerencia: Suponga que $\lim_{x \to a} f(x) = A$, $\lim_{x \to a} f(x) = B$, con $B \neq A$. Elija $\epsilon_1, \epsilon_2 < \frac{1}{2} |A - B|$. Determine $\delta_1$ y $\delta_2$ para los dos límites y tome $\delta$ como el menor entre $\delta_1$ y $\delta_2$. Muestre que entonces $|A - B| = |[A - f(x)] + [f(x) - B]| < |A - B|$, lo cual es una contradicción).
Solución Paso a Paso
Para demostrar la unicidad del límite, utilizaremos el método de reducción al absurdo.
1. Datos y suposiciones:
Supongamos que el límite no es único. Es decir, existen dos valores distintos $A$ y $B$ tales que:
$$ \lim_{x \to a} f(x) = A \quad \text{y} \quad \lim_{x \to a} f(x) = B, \quad \text{con } A \neq B $$
2. Definición formal de límite ($\epsilon - \delta$):
Por definición, para cualquier $\epsilon > 0$, existen $\delta_1, \delta_2 > 0$ tales que:
3. Elección estratégica de $\epsilon$:
Sea $\epsilon = \frac{1}{2} |A - B|$. Como $A \neq B$, entonces $\epsilon > 0$.
Tomamos $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$. Así, para cualquier $x$ que cumpla $0 < |x - a| < \delta$, se cumplen ambas desigualdades simultáneamente.
4. Desarrollo de la contradicción:
Consideramos la distancia entre los dos supuestos límites $|A - B|$ y aplicamos la desigualdad triangular:
$$ \begin{aligned} |A - B| &= |(A - f(x)) + (f(x) - B)| \\ &\leq |A - f(x)| + |f(x) - B| \\ &= |f(x) - A| + |f(x) - B| \end{aligned} $$
Sustituyendo los valores de $\epsilon$:
$$ \begin{aligned} |A - B| &< \epsilon + \epsilon \\ |A - B| &< 2\epsilon \\ |A - B| &< 2 \left( \frac{1}{2} |A - B| \right) \\ |A - B| &< |A - B| \end{aligned} $$
5. Conclusión:
Llegamos a la expresión $|A - B| < |A - B|$, lo cual es una contradicción lógica. Por lo tanto, la suposición inicial de que existen dos límites diferentes es falsa.
$$ \boxed{\text{El límite de una función, si existe, es único.}} $$
1. Datos y suposiciones:
Supongamos que el límite no es único. Es decir, existen dos valores distintos $A$ y $B$ tales que:
$$ \lim_{x \to a} f(x) = A \quad \text{y} \quad \lim_{x \to a} f(x) = B, \quad \text{con } A \neq B $$
2. Definición formal de límite ($\epsilon - \delta$):
Por definición, para cualquier $\epsilon > 0$, existen $\delta_1, \delta_2 > 0$ tales que:
- Si $0 < |x - a| < \delta_1 \implies |f(x) - A| < \epsilon$
- Si $0 < |x - a| < \delta_2 \implies |f(x) - B| < \epsilon$
3. Elección estratégica de $\epsilon$:
Sea $\epsilon = \frac{1}{2} |A - B|$. Como $A \neq B$, entonces $\epsilon > 0$.
Tomamos $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$. Así, para cualquier $x$ que cumpla $0 < |x - a| < \delta$, se cumplen ambas desigualdades simultáneamente.
4. Desarrollo de la contradicción:
Consideramos la distancia entre los dos supuestos límites $|A - B|$ y aplicamos la desigualdad triangular:
$$ \begin{aligned} |A - B| &= |(A - f(x)) + (f(x) - B)| \\ &\leq |A - f(x)| + |f(x) - B| \\ &= |f(x) - A| + |f(x) - B| \end{aligned} $$
Sustituyendo los valores de $\epsilon$:
$$ \begin{aligned} |A - B| &< \epsilon + \epsilon \\ |A - B| &< 2\epsilon \\ |A - B| &< 2 \left( \frac{1}{2} |A - B| \right) \\ |A - B| &< |A - B| \end{aligned} $$
5. Conclusión:
Llegamos a la expresión $|A - B| < |A - B|$, lo cual es una contradicción lógica. Por lo tanto, la suposición inicial de que existen dos límites diferentes es falsa.
$$ \boxed{\text{El límite de una función, si existe, es único.}} $$