Iv
CAL1 • Limites_continuidad
CALC_LIM_021
Schaum
Enunciado
Paso 1:
Para la función $f(x) = 5x - 6$, encuentre un $\delta > 0$ tal que siempre que $0 < |x - 4| < \delta$, entonces $|f(x) - 14| < \epsilon$, cuando (a) $\epsilon = \frac{1}{2}$ y (b) $\epsilon = 0.001$.
Para la función $f(x) = 5x - 6$, encuentre un $\delta > 0$ tal que siempre que $0 < |x - 4| < \delta$, entonces $|f(x) - 14| < \epsilon$, cuando (a) $\epsilon = \frac{1}{2}$ y (b) $\epsilon = 0.001$.
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
2. Relación entre $\delta$ y $\epsilon$:
Partimos de la desigualdad del valor absoluto para la función:
$$ |f(x) - 14| < \epsilon $$
Sustituyendo $f(x)$:
$$ |(5x - 6) - 14| < \epsilon \implies |5x - 20| < \epsilon $$
Factorizando el 5:
$$ 5|x - 4| < \epsilon \implies |x - 4| < \frac{\epsilon}{5} $$
Comparando con $|x - 4| < \delta$, establecemos que $\delta = \frac{\epsilon}{5}$.
3. Desarrollo de los incisos:
(a) Para $\epsilon = \frac{1}{2}$:
$$ \delta = \frac{1/2}{5} = \frac{1}{10} = 0.1 $$
(b) Para $\epsilon = 0.001$:
$$ \delta = \frac{0.001}{5} = 0.0002 $$
Resultado:
$$ \boxed{(a) \, \delta = \frac{1}{10}; \quad (b) \, \delta = 0.0002} $$
- Función: $f(x) = 5x - 6$
- Punto de acumulación: $a = 4$
- Valor del límite: $L = 14$
- Definición: $0 < |x - a| < \delta \implies |f(x) - L| < \epsilon$
2. Relación entre $\delta$ y $\epsilon$:
Partimos de la desigualdad del valor absoluto para la función:
$$ |f(x) - 14| < \epsilon $$
Sustituyendo $f(x)$:
$$ |(5x - 6) - 14| < \epsilon \implies |5x - 20| < \epsilon $$
Factorizando el 5:
$$ 5|x - 4| < \epsilon \implies |x - 4| < \frac{\epsilon}{5} $$
Comparando con $|x - 4| < \delta$, establecemos que $\delta = \frac{\epsilon}{5}$.
3. Desarrollo de los incisos:
(a) Para $\epsilon = \frac{1}{2}$:
$$ \delta = \frac{1/2}{5} = \frac{1}{10} = 0.1 $$
(b) Para $\epsilon = 0.001$:
$$ \delta = \frac{0.001}{5} = 0.0002 $$
Resultado:
$$ \boxed{(a) \, \delta = \frac{1}{10}; \quad (b) \, \delta = 0.0002} $$