1. Datos y análisis:
Al evaluar directamente $x = 1$:
$$ f(1) = \frac{1 - 1}{1^2 - 1} = \frac{0}{0} $$
Obtenemos una indeterminación de tipo $\frac{0}{0}$.

2. Fórmulas usadas:
Diferencia de cuadrados: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

3. Desarrollo paso a paso:
Factorizamos el denominador para simplificar la expresión:
$$ \begin{aligned} \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{(x - 1)(x + 1)} &= \lim_{x \to 1} \frac{1}{x + 1} \end{aligned} $$
Ahora, evaluamos el límite sustituyendo $x = 1$:
$$ L = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} $$

4. Resultado:
$$ \boxed{\frac{1}{2}} $$