1. Datos del problema:

• $I = \int_{\pi/4}^{\pi/3} e^x \left( \frac{2+\sin 2x}{1+\cos 2x} \right) dx$.
• La integral es igual a $e^{a\pi}(be^{c\pi}-1)$.
• Se debe encontrar el valor de $\frac{b^2 c}{a}$.

2. Fórmulas a utilizar:

• Identidades trigonométricas: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ y $1+\cos 2x = 2\cos^2 x$.
• Propiedad de integración: $\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + C$.

3. Desarrollo paso a paso:

Paso 1: Simplificar el integrando
Vamos a simplificar la fracción dentro de la integral usando las identidades trigonométricas:
$$ \frac{2+\sin 2x}{1+\cos 2x} = \frac{2+2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} = \frac{2(1+\sin x \cos x)}{2\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} $$
$$ = \sec^2 x + \tan x $$
Ahora la integral es:
$$ I = \int_{\pi/4}^{\pi/3} e^x (\tan x + \sec^2 x) dx $$

Paso 2: Aplicar la propiedad de integración
La integral tiene la forma $\int e^x (f(x) + f'(x)) dx$. Si elegimos $f(x) = \tan x$, su derivada es $f'(x) = \sec^2 x$. La forma coincide perfectamente.
Por lo tanto, la integral indefinida es $e^x f(x) = e^x \tan x$.

Paso 3: Evaluar la integral definida
$$ I = [e^x \tan x]_{\pi/4}^{\pi/3} = (e^{\pi/3} \tan(\pi/3)) - (e^{\pi/4} \tan(\pi/4)) $$
Sabiendo que $\tan(\pi/3) = \sqrt{3}$ y $\tan(\pi/4) = 1$:
$$ I = e^{\pi/3}\sqrt{3} - e^{\pi/4} $$

Paso 4: Comparar el resultado con la forma dada
El resultado debe coincidir con la forma $e^{a\pi}(be^{c\pi}-1)$. Para ello, factorizamos el término $e^{\pi/4}$ de nuestra solución:
$$ I = e^{\pi/4} (\sqrt{3} e^{\pi/3 - \pi/4} - 1) = e^{\pi/4} (\sqrt{3} e^{\pi/12} - 1) $$
Ahora comparamos término a término con $e^{a\pi}(be^{c\pi}-1)$:

• $e^{a\pi} = e^{\pi/4} \implies a\pi = \pi/4 \implies a = 1/4$.
• $b = \sqrt{3}$.
• $e^{c\pi} = e^{\pi/12} \implies c\pi = \pi/12 \implies c = 1/12$.

Paso 5: Calcular la expresión final
El enunciado pide $\frac{b^2 c}{a}$. Sustituyendo $a = 1/4$, $b = \sqrt{3}$, $c = 1/12$:
$$ \frac{b^2 c}{a} = \frac{(\sqrt{3})^2 \cdot (1/12)}{1/4} = \frac{3 \cdot (1/12)}{1/4} = \frac{1/4}{1/4} = 1 $$
El valor $1$ no figura entre las opciones (a) 3, (b) 6, (c) 9, (d) 12. Si el enunciado hubiera pedido $\frac{b^2 a}{c}$:
$$ \frac{b^2 a}{c} = \frac{(\sqrt{3})^2 \cdot (1/4)}{1/12} = \frac{3/4}{1/12} = 9 $$
que corresponde a la opción (c).

4. Resultado final:
Según el enunciado: $\frac{b^2 c}{a}=1$ (no está en las alternativas). Si se interpreta $\frac{b^2 a}{c}$: opción (c) 9.