Para estudiar la continuidad en $x=1$, analizamos la definición de la función signo ($\text{sgn}(u)$ es 1 si $u>0$, 0 si $u=0$ y -1 si $u<0$).

1. Valor de la función: $f(1) = \text{sgn}\left(\frac{1^2-1}{1^2+2}\right) = \text{sgn}(0) = 0$.

2. Límites laterales:
Analizamos el argumento $u(x) = \frac{x^2-1}{x^2+2}$ cerca de $x=1$:

• Por la derecha ($x \to 1^+$): $x^2-1 > 0$, por lo que $u(x) > 0$.
  $$\lim_{x \to 1^+} \text{sgn}(u(x)) = 1$$
• Por la izquierda ($x \to 1^-$): $x^2-1 < 0$, por lo que $u(x) < 0$.
  $$\lim_{x \to 1^-} \text{sgn}(u(x)) = -1$$

Conclusión: Como los límites laterales no son iguales ($\lim_{x \to 1^+} \neq \lim_{x \to 1^-}$), el límite general no existe y la función presenta una discontinuidad inevitable de salto finito en $x=1$.