1. Análisis del Dominio:
Para que una función logarítmica esté definida, su argumento debe ser estrictamente mayor que cero ($>0$).

• Para $\ln(x-3)$, requerimos: $x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3$
• Para $\ln(x)$, requerimos: $x > 0$

Intersectando ambas condiciones: $x \in (3, \infty)$.
$$\text{Dom}(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 3\}$$

2. Análisis del Rango:
Podemos simplificar la función usando propiedades de logaritmos:
$$f(x) = \ln\left(\frac{x-3}{x}\right) = \ln\left(1 - \frac{3}{x}\right)$$
Analicemos el comportamiento de $g(x) = 1 - \frac{3}{x}$ para $x \in (3, \infty)$:

• Cuando $x \to 3^+$, $g(x) \to 1 - \frac{3}{3} = 0^+$. Entonces $\ln(g(x)) \to -\infty$.
• Cuando $x \to \infty$, $g(x) \to 1 - 0 = 1^-$. Entonces $\ln(g(x)) \to 0^-$.

Por lo tanto, los valores de la función van desde $-\infty$ hasta $0$ sin tocar el cero.
$$\text{Ran}(f) = \{y \in \mathbb{R} \mid y < 0\} \Rightarrow (-\infty, 0)$$