Una función es continua en $x_0$ si se cumplen tres condiciones: existe $f(x_0)$, existe el límite cuando $x \to x_0$, y ambos son iguales.

1. Evaluación de la función en $x_0 = \pi/4$:
Calculamos los valores trigonométricos conocidos:

• $\sin(\pi/4) = \frac{1}{\sqrt{2}}$


• $\cos(\pi/4) = \frac{1}{\sqrt{2}}$


• $\tan(\pi/4) = 1$

Sustituimos en la expresión:
$$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{e^{\pi/4} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}{1^2 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)} = \frac{e^{\pi/4} \cdot \frac{1}{2}}{1 \cdot \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)}$$

Simplificando el factor $1/2$:
$$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{e^{\pi/4}}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{e^{\pi/4}}{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2} e^{\pi/4}}{\sqrt{2}-1}$$

2. Conclusión:
Como el denominador no se anula en $x = \pi/4$ (ya que $\sin(\pi/4) \neq 1$) y la función está compuesta por funciones continuas en ese dominio, el límite existe y es igual al valor de la función.
La función es continua en $X_0 = \frac{\pi}{4}$.