Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Evaluar: $\displaystyle \int \csc^{7} x \, dx$

Calcular:
$$ \int \frac{dx}{x(x^4 + 1)} $$

Dada la ecuación $x^n - 1 = 0$ con raíces $1, a_1, a_2, \dots, a_{n-1}$, determine el valor de:
$$\sum_{r=1}^{n-1} \frac{1}{2 - a_r}$$

$$ \begin{array}{ll} \text{a) } \frac{2^{n-1}(n-2)+1}{2^n-1} & \text{b) } \frac{2^n(n-2)+1}{2^n-1} \\ \text{c) } \frac{2^{n-1}(n-1)-1}{2^n-1} & \text{d) } \text{none of these} \end{array} $$

Paso 1:
ii) (5\%) Enunciar la condición de necesidad y suficiencia para que exista el límite $f(x)$ en el punto $x_0 \in D_f$.

Evaluar:
$$ \int \tan^{-1}\left(\frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x}\right) dx $$

Analice la monotonía de las siguientes funciones:

1. [(a)] Demuestre que $y = x^5 + 20x - 6$ es una función creciente para todos los valores de $x$.
2. [(b)] Demuestre que $y = 1 - x^3 - x^7$ es una función decreciente para todos los valores de $x$.

Calcule la integral indefinida:
$$\int \frac{\cos(x) - \sin(x)}{2 + \sin(2x)} dx$$

Evaluar la integral indefinida:
$$ \int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{x^{2}-1}} $$

Encuentre la derivada $dy/dx$ para la función:
$$ y = \sin x - x \cos x + x^2 + 4x + 3 $$

Después de calcular la función inversa de $\sinh(x)$, hallar el límite:
$$L = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{1}{\text{arcsinh}(x)} - \frac{1}{\ln(1+x)} \right]$$

Resuelva la integral:
$$\int \sin \sqrt{x} dx$$

Hallar la derivada $y'$ de la función:
$$ y = (3 + 4x - x^2)^{1/2} $$
Expresar el resultado en términos de $y$.