Iv
CAL1 • Aplicaciones_derivada
CALC_DER_419
Guía de ejercicios de cálculo
Enunciado
Paso 1:
Encuentre el cambio en la superficie total de un cono circular recto cuando (a) el radio permanece constante mientras la altura cambia en una cantidad pequeña; (b) la altura permanece constante mientras el radio cambia en una cantidad pequeña.
Encuentre el cambio en la superficie total de un cono circular recto cuando (a) el radio permanece constante mientras la altura cambia en una cantidad pequeña; (b) la altura permanece constante mientras el radio cambia en una cantidad pequeña.
Solución Paso a Paso
1. Fórmulas usadas:
La superficie total $S$ de un cono es la suma del área de la base y el área lateral:
$$ S = \pi r^2 + \pi r \sqrt{r^2 + h^2} $$
2. Desarrollo parte (a): $r$ constante, $h$ varía ($dh$)
Calculamos la derivada parcial de $S$ respecto a $h$:
$$ \frac{\partial S}{\partial h} = \pi r \cdot \frac{1}{2\sqrt{r^2 + h^2}} \cdot 2h = \frac{\pi r h}{\sqrt{r^2 + h^2}} $$
Por lo tanto, el cambio diferencial $dS$ es:
$$ dS = \frac{\pi r h \, dh}{\sqrt{r^2 + h^2}} $$
3. Desarrollo parte (b): $h$ constante, $r$ varía ($dr$)
Calculamos la derivada parcial de $S$ respecto a $r$:
$$ \frac{\partial S}{\partial r} = 2\pi r + \pi \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r \cdot \frac{r}{\sqrt{r^2 + h^2}} $$
$$ \frac{\partial S}{\partial r} = 2\pi r + \pi \left[ \frac{(r^2 + h^2) + r^2}{\sqrt{r^2 + h^2}} \right] = \pi \left[ 2r + \frac{2r^2 + h^2}{\sqrt{r^2 + h^2}} \right] $$
Por lo tanto, el cambio diferencial $dS$ es:
$$ dS = \pi \left[ \frac{h^2 + 2r^2}{\sqrt{r^2 + h^2}} + 2r \right] dr $$
4. Conclusión:
$$ \boxed{(a) \frac{\pi r h \, dh}{\sqrt{r^2 + h^2}}; \quad (b) \pi \left[ \frac{h^2 + 2r^2}{\sqrt{r^2 + h^2}} + 2r \right] dr} $$
La superficie total $S$ de un cono es la suma del área de la base y el área lateral:
$$ S = \pi r^2 + \pi r \sqrt{r^2 + h^2} $$
2. Desarrollo parte (a): $r$ constante, $h$ varía ($dh$)
Calculamos la derivada parcial de $S$ respecto a $h$:
$$ \frac{\partial S}{\partial h} = \pi r \cdot \frac{1}{2\sqrt{r^2 + h^2}} \cdot 2h = \frac{\pi r h}{\sqrt{r^2 + h^2}} $$
Por lo tanto, el cambio diferencial $dS$ es:
$$ dS = \frac{\pi r h \, dh}{\sqrt{r^2 + h^2}} $$
3. Desarrollo parte (b): $h$ constante, $r$ varía ($dr$)
Calculamos la derivada parcial de $S$ respecto a $r$:
$$ \frac{\partial S}{\partial r} = 2\pi r + \pi \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r \cdot \frac{r}{\sqrt{r^2 + h^2}} $$
$$ \frac{\partial S}{\partial r} = 2\pi r + \pi \left[ \frac{(r^2 + h^2) + r^2}{\sqrt{r^2 + h^2}} \right] = \pi \left[ 2r + \frac{2r^2 + h^2}{\sqrt{r^2 + h^2}} \right] $$
Por lo tanto, el cambio diferencial $dS$ es:
$$ dS = \pi \left[ \frac{h^2 + 2r^2}{\sqrt{r^2 + h^2}} + 2r \right] dr $$
4. Conclusión:
$$ \boxed{(a) \frac{\pi r h \, dh}{\sqrt{r^2 + h^2}}; \quad (b) \pi \left[ \frac{h^2 + 2r^2}{\sqrt{r^2 + h^2}} + 2r \right] dr} $$