Ii
CAL1 • Aplicaciones_derivada
CALC_DER_413
Cálculo diferencial
Enunciado
Paso 1:
Una esfera de hielo de radio 10 pulg se contrae a un radio de 9.8 pulg. Aproximar la disminución en (a) el volumen y (b) el área superficial.
Una esfera de hielo de radio 10 pulg se contrae a un radio de 9.8 pulg. Aproximar la disminución en (a) el volumen y (b) el área superficial.
Solución Paso a Paso
Datos:
Radio inicial $r = 10$ pulg.
Cambio en el radio $dr = 9.8 - 10 = -0.2$ pulg.
(a) Cambio en el volumen:
1. Fórmula: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.
2. Diferencial: $dV = 4\pi r^2 \, dr$.
3. Cálculo:
$$ \begin{aligned} dV &= 4\pi (10)^2 (-0.2) \\ dV &= 4\pi (100) (-0.2) \\ dV &= -80\pi \text{ pulg}^3 \end{aligned} $$
La disminución es de $80\pi \text{ pulg}^3$.
(b) Cambio en el área superficial:
1. Fórmula: $S = 4\pi r^2$.
2. Diferencial: $dS = 8\pi r \, dr$.
3. Cálculo:
$$ \begin{aligned} dS &= 8\pi (10) (-0.2) \\ dS &= 80\pi (-0.2) \\ dS &= -16\pi \text{ pulg}^2 \end{aligned} $$
La disminución es de $16\pi \text{ pulg}^2$.
$$ \boxed{(a) 80\pi \text{ pulg}^3; (b) 16\pi \text{ pulg}^2} $$
Radio inicial $r = 10$ pulg.
Cambio en el radio $dr = 9.8 - 10 = -0.2$ pulg.
(a) Cambio en el volumen:
1. Fórmula: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.
2. Diferencial: $dV = 4\pi r^2 \, dr$.
3. Cálculo:
$$ \begin{aligned} dV &= 4\pi (10)^2 (-0.2) \\ dV &= 4\pi (100) (-0.2) \\ dV &= -80\pi \text{ pulg}^3 \end{aligned} $$
La disminución es de $80\pi \text{ pulg}^3$.
(b) Cambio en el área superficial:
1. Fórmula: $S = 4\pi r^2$.
2. Diferencial: $dS = 8\pi r \, dr$.
3. Cálculo:
$$ \begin{aligned} dS &= 8\pi (10) (-0.2) \\ dS &= 80\pi (-0.2) \\ dS &= -16\pi \text{ pulg}^2 \end{aligned} $$
La disminución es de $16\pi \text{ pulg}^2$.
$$ \boxed{(a) 80\pi \text{ pulg}^3; (b) 16\pi \text{ pulg}^2} $$