Para aproximar el valor de una función $f(x)$ cerca de un punto conocido $x_0$, utilizamos la fórmula de la linealización o diferencial:
$$ f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) dx $$
donde $dx = \Delta x$.

(a) Aproximación de $\sqrt[4]{17}$:
Sea $f(x) = x^{1/4}$, $x_0 = 16$ y $dx = 1$.
1. Calculamos la derivada: $f'(x) = \frac{1}{4}x^{-3/4} = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$.
2. Evaluamos en $x_0 = 16$:
$f(16) = \sqrt[4]{16} = 2$
$f'(16) = \frac{1}{4(16)^{3/4}} = \frac{1}{4(8)} = \frac{1}{32} = 0.03125$.
3. Aplicamos la fórmula:
$\sqrt[4]{17} \approx 2 + (0.03125)(1) = 2.03125$.

(b) Aproximación de $\sqrt[5]{1020}$:
Sea $f(x) = x^{1/5}$, $x_0 = 1024$ (ya que $4^5 = 1024$) y $dx = -4$.
1. Derivada: $f'(x) = \frac{1}{5}x^{-4/5}$.
2. Evaluamos en $x_0 = 1024$:
$f(1024) = 4$
$f'(1024) = \frac{1}{5(1024)^{4/5}} = \frac{1}{5(4^4)} = \frac{1}{5(256)} = \frac{1}{1280} \approx 0.00078125$.
3. Aplicamos la fórmula:
$\sqrt[5]{1020} \approx 4 + (0.00078125)(-4) = 4 - 0.003125 = 3.996875$.
Redondeando: $3.99688$.

(c) Aproximación de $\cos 59^\circ$:
Sea $f(x) = \cos x$, $x_0 = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ rad y $dx = -1^\circ = -\frac{\pi}{180}$ rad.
1. Derivada: $f'(x) = -\sin x$.
2. Evaluamos:
$f(\pi/3) = 0.5$
$f'(\pi/3) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.8660$.
3. Aplicamos la fórmula:
$\cos 59^\circ \approx 0.5 + (-0.8660)(-\frac{3.14159}{180}) \approx 0.5 + 0.01511 = 0.5151$.

(d) Aproximación de $\tan 44^\circ$:
Sea $f(x) = \tan x$, $x_0 = 45^\circ = \frac{\pi}{4}$ rad y $dx = -1^\circ = -\frac{\pi}{180}$ rad.
1. Derivada: $f'(x) = \sec^2 x$.
2. Evaluamos:
$f(\pi/4) = 1$
$f'(\pi/4) = (\sqrt{2})^2 = 2$.
3. Aplicamos la fórmula:
$\tan 44^\circ \approx 1 + (2)(-\frac{3.14159}{180}) \approx 1 - 0.0349 = 0.9651$.

$$ \boxed{(a) 2.03125; (b) 3.99688; (c) 0.5151; (d) 0.9651} $$