1. Procedimiento:
Derivamos ambos miembros de la ecuación respecto a $x$, recordando que $y$ es una función de $x$ (regla de la cadena y del producto).

2. Desarrollo paso a paso:
Derivando el primer término ($2xy^3$):
$$ \frac{d}{dx}(2xy^3) = 2y^3 + 2x(3y^2 y') = 2y^3 + 6xy^2 y' $$
Derivando el segundo término ($3x^2y$):
$$ \frac{d}{dx}(3x^2y) = 6xy + 3x^2 y' $$
La derivada de la constante 1 es 0. La ecuación queda:
$$ 2y^3 + 6xy^2 y' + 6xy + 3x^2 y' = 0 $$
Agrupamos los términos con $y'$:
$$ y'(6xy^2 + 3x^2) = -(2y^3 + 6xy) $$
Factorizando términos comunes:
$$ y'[3x(2y^2 + x)] = -2y(y^2 + 3x) $$
Despejando $y'$:
$$ y' = -\frac{2y(y^2 + 3x)}{3x(2y^2 + x)} $$

3. Resultado:
$$ \boxed{\frac{dy}{dx} = -\frac{2y(y^2 + 3x)}{3x(2y^2 + x)}} $$