1. Datos y fórmulas:
La curvatura $k$ de una función $y = f(x)$ se define por la fórmula:
$$ k(x) = \frac{|y''|}{(1 + (y')^2)^{3/2}} $$
Para hallar el punto de máxima curvatura, debemos encontrar el valor de $x$ que maximiza la función $k(x)$, lo cual ocurre generalmente cuando $k'(x) = 0$.

2. Desarrollo parte (a): $y = e^x$
Calculamos las derivadas necesarias:

• $y' = e^x$


• $y'' = e^x$

Sustituimos en la fórmula de curvatura:
$$ k(x) = \frac{e^x}{(1 + e^{2x})^{3/2}} $$
Para maximizar $k(x)$, derivamos respecto a $x$:
$$ k'(x) = \frac{e^x(1 + e^{2x})^{3/2} - e^x \cdot \frac{3}{2}(1 + e^{2x})^{1/2} \cdot 2e^{2x}}{(1 + e^{2x})^3} $$
Igualamos a cero el numerador:
$$ \begin{aligned} e^x(1 + e^{2x})^{3/2} - 3e^{3x}(1 + e^{2x})^{1/2} &= 0 \\ (1 + e^{2x}) - 3e^{2x} &= 0 \\ 1 - 2e^{2x} &= 0 \implies e^{2x} = \frac{1}{2} \end{aligned} $$
Aplicando logaritmo natural:
$$ 2x = \ln\left(\frac{1}{2}\right) \implies x = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1}{2}\right) $$

3. Desarrollo parte (b): $y = \frac{x^3}{3}$
Derivadas: $y' = x^2$, $y'' = 2x$.
$$ k(x) = \frac{2x}{(1 + x^4)^{3/2}} $$
Derivando $k(x)$ e igualando a cero:
$$ k'(x) = \frac{2(1+x^4)^{3/2} - 2x \cdot \frac{3}{2}(1+x^4)^{1/2} \cdot 4x^3}{(1+x^4)^3} = 0 $$
$$ 2(1+x^4) - 12x^4 = 0 \implies 2 - 10x^4 = 0 \implies x^4 = \frac{1}{5} \implies x = \frac{1}{\sqrt[4]{5}} $$

Resultado:
$$ \boxed{(a) \ x = \frac{1}{2} \ln \frac{1}{2}; \ (b) \ x = \frac{1}{\sqrt[4]{5}}} $$