1. Datos del problema:
Curva: $y = a \cosh \left( \frac{x}{a} \right)$
Objetivo: Hallar $\frac{ds}{dx}$.

2. Fórmulas usadas:
El diferencial de longitud de arco en función de $x$ es:
$$ \frac{ds}{dx} = \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} $$
Identidad hiperbólica: $\cosh^2(\theta) - \sinh^2(\theta) = 1 \implies 1 + \sinh^2(\theta) = \cosh^2(\theta)$.

3. Desarrollo paso a paso:
Primero, calculamos la derivada de $y$ respecto a $x$:
$$ \begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= \frac{d}{dx} \left[ a \cosh \left( \frac{x}{a} \right) \right] \\ \frac{dy}{dx} &= a \cdot \sinh \left( \frac{x}{a} \right) \cdot \frac{1}{a} \\ \frac{dy}{dx} &= \sinh \left( \frac{x}{a} \right) \end{aligned} $$

Ahora, sustituimos en la fórmula del diferencial de arco:
$$ \begin{aligned} \frac{ds}{dx} &= \sqrt{1 + \left[ \sinh \left( \frac{x}{a} \right) \right]^2} \\ \frac{ds}{dx} &= \sqrt{1 + \sinh^2 \left( \frac{x}{a} \right)} \end{aligned} $$

Aplicando la identidad hiperbólica $1 + \sinh^2(\theta) = \cosh^2(\theta)$:
$$ \begin{aligned} \frac{ds}{dx} &= \sqrt{\cosh^2 \left( \frac{x}{a} \right)} \\ \frac{ds}{dx} &= \cosh \left( \frac{x}{a} \right) \end{aligned} $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\frac{ds}{dx} = \cosh \left( \frac{x}{a} \right)} $$