1. Derivación implícita:
Derivamos ambos lados respecto a $x$:
$$ 54ay \frac{dy}{dx} = 12(x - a)^2 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{12(x - a)^2}{54ay} = \frac{2(x - a)^2}{9ay} $$
Elevamos al cuadrado:
$$ \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{4(x - a)^4}{81a^2y^2} $$
De la ecuación original, sabemos que $27ay^2 = 4(x - a)^3$, por lo que $81a^2y^2 = 3a[27ay^2] = 3a[4(x - a)^3] = 12a(x - a)^3$.
Sustituyendo esto en la expresión del cuadrado de la derivada:
$$ \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{4(x - a)^4}{12a(x - a)^3} = \frac{x - a}{3a} $$

2. Cálculo de la diferencial:
$$ \begin{aligned} \frac{ds}{dx} &= \sqrt{1 + \frac{x - a}{3a}} = \sqrt{\frac{3a + x - a}{3a}} \\ &= \sqrt{\frac{x + 2a}{3a}} \end{aligned} $$

Resultado:
$$ \boxed{\frac{ds}{dx} = \sqrt{\frac{x + 2a}{3a}}} $$