1. Identificación de datos y fórmulas:
Dada la curva $x^2 + y^2 = 25$ (una circunferencia), necesitamos hallar las diferenciales de arco. Usaremos:
$$ \frac{ds}{dx} = \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \quad \text{y} \quad \frac{ds}{dy} = \sqrt{1 + \left(\frac{dx}{dy}\right)^2} $$

2. Cálculo de $\frac{ds}{dx}$:
Derivamos implícitamente respecto a $x$:
$$ 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} $$
Sustituimos en la fórmula de la diferencial:
$$ \begin{aligned} \frac{ds}{dx} &= \sqrt{1 + \left(-\frac{x}{y}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{x^2}{y^2}} = \sqrt{\frac{y^2 + x^2}{y^2}} \\ \text{Como } x^2 + y^2 &= 25, \text{ entonces:} \\ \frac{ds}{dx} &= \sqrt{\frac{25}{y^2}} = \frac{5}{y} \end{aligned} $$
De la ecuación original, $y = \sqrt{25 - x^2}$, por lo tanto:
$$ \frac{ds}{dx} = \frac{5}{\sqrt{25 - x^2}} $$

3. Cálculo de $\frac{ds}{dy}$:
Derivamos implícitamente respecto a $y$:
$$ 2x \frac{dx}{dy} + 2y = 0 \implies \frac{dx}{dy} = -\frac{y}{x} $$
Sustituimos:
$$ \frac{ds}{dy} = \sqrt{1 + \left(-\frac{y}{x}\right)^2} = \sqrt{\frac{x^2 + y^2}{x^2}} = \frac{5}{x} $$
Como $x = \sqrt{25 - y^2}$:
$$ \frac{ds}{dy} = \frac{5}{\sqrt{25 - y^2}} $$

Resultado:
$$ \boxed{\frac{ds}{dx} = \frac{5}{\sqrt{25 - x^2}}, \quad \frac{ds}{dy} = \frac{5}{\sqrt{25 - y^2}}} $$