1. Datos del problema:
Dada una ecuación que relaciona $x$ e $y$, se debe encontrar la derivada de $y$ con respecto a $x$ mediante derivación implícita.

2. Fórmulas y propiedades:

• $\frac{d}{du}(\text{sech}^{-1} u) = -\frac{1}{u\sqrt{1 - u^2}}$.


• $\frac{d}{dy}(\sqrt{a^2 - y^2}) = \frac{-2y}{2\sqrt{a^2 - y^2}} = -\frac{y}{\sqrt{a^2 - y^2}}$.

3. Desarrollo paso a paso:
Derivamos ambos miembros de la ecuación respecto a $y$ para encontrar $dx/dy$ (luego usaremos la propiedad $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{dx/dy}$):

Sea $x = f(y)$. Derivamos el primer término: $a \text{ sech}^{-1} (y/a)$.
$$ \begin{aligned} \frac{d}{dy} \left[ a \text{ sech}^{-1} \left(\frac{y}{a}\right) \right] &= a \left( -\frac{1}{\frac{y}{a}\sqrt{1 - (\frac{y}{a})^2}} \right) \cdot \frac{1}{a} \\ &= -\frac{a}{y\sqrt{\frac{a^2 - y^2}{a^2}}} \cdot 1 \\ &= -\frac{a}{y \frac{\sqrt{a^2 - y^2}}{a}} = -\frac{a^2}{y\sqrt{a^2 - y^2}} \end{aligned} $$

Derivamos el segundo término: $-\sqrt{a^2 - y^2}$.
$$ -\frac{d}{dy} (\sqrt{a^2 - y^2}) = -\left( \frac{-y}{\sqrt{a^2 - y^2}} \right) = \frac{y}{\sqrt{a^2 - y^2}} $$

Sumamos ambas partes para obtener $dx/dy$:
$$ \begin{aligned} \frac{dx}{dy} &= -\frac{a^2}{y\sqrt{a^2 - y^2}} + \frac{y}{\sqrt{a^2 - y^2}} \\ &= \frac{-a^2 + y^2}{y\sqrt{a^2 - y^2}} \\ &= -\frac{a^2 - y^2}{y\sqrt{a^2 - y^2}} \end{aligned} $$

Simplificamos usando la propiedad $\frac{k}{\sqrt{k}} = \sqrt{k}$:
$$ \frac{dx}{dy} = -\frac{\sqrt{a^2 - y^2}}{y} $$

Finalmente, invertimos para obtener $dy/dx$:
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{dx/dy} = -\frac{y}{\sqrt{a^2 - y^2}} $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{\sqrt{a^2 - y^2}}} $$