1. Datos del problema:
Se requiere hallar la derivada de la función seno hiperbólico inverso con un argumento compuesto.

2. Fórmulas y propiedades:
Para resolver este ejercicio utilizaremos:

• Derivada del seno hiperbólico inverso: $\frac{d}{du}(\sinh^{-1} u) = \frac{1}{\sqrt{u^2 + 1}}$.


• Regla de la cadena: $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$.

3. Desarrollo paso a paso:
Sea $u = \frac{1}{2}x$. Entonces, su derivada respecto a $x$ es:
$$ \frac{du}{dx} = \frac{1}{2} $$

Aplicamos la regla de la cadena a la función $y = \sinh^{-1} u$:
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + 1}} \cdot \frac{du}{dx} $$

Sustituimos $u$ y su derivada:
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{\left(\frac{1}{2}x\right)^2 + 1}} \cdot \frac{1}{2} $$

Simplificamos la expresión dentro de la raíz:
$$ \begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{\sqrt{\frac{x^2}{4} + 1}} \cdot \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{\sqrt{\frac{x^2 + 4}{4}}} \cdot \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{\frac{\sqrt{x^2 + 4}}{2}} \cdot \frac{1}{2} \end{aligned} $$

Al multiplicar los términos, el factor $2$ se cancela:
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sqrt{x^2 + 4}} \cdot \frac{1}{2} $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4}}} $$