Parte (a):
1. Datos y funciones:
Se tiene la función $y = a \cosh \left( \frac{x}{a} \right)$.
Recordamos las derivadas de funciones hiperbólicas: $\frac{d}{dx}[\cosh u] = \sinh u \cdot \frac{du}{dx}$ y la identidad $\cosh^2 u - \sinh^2 u = 1$.

2. Cálculo de la primera derivada ($y'$):
Aplicando la regla de la cadena:
$$ y' = a \cdot \sinh \left( \frac{x}{a} \right) \cdot \frac{1}{a} = \sinh \left( \frac{x}{a} \right) $$

3. Cálculo de la segunda derivada ($y''$):
Derivamos nuevamente respecto a $x$:
$$ y'' = \cosh \left( \frac{x}{a} \right) \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{a} \cosh \left( \frac{x}{a} \right) $$

4. Verificación de la igualdad:
Sustituimos $y' = \sinh \left( \frac{x}{a} \right)$ en la expresión $\frac{1}{a} \sqrt{1 + (y')^2}$:
$$ \frac{1}{a} \sqrt{1 + \sinh^2 \left( \frac{x}{a} \right)} $$
Usando la identidad fundamental $1 + \sinh^2 u = \cosh^2 u$:
$$ \frac{1}{a} \sqrt{\cosh^2 \left( \frac{x}{a} \right)} = \frac{1}{a} \cosh \left( \frac{x}{a} \right) $$
Como ambos lados son iguales a $y''$, la identidad queda demostrada.

Parte (b):
1. Función dada:
$y = A \cosh bx + B \sinh bx$.

2. Primera derivada ($y'$):
$$ y' = A \cdot b \sinh bx + B \cdot b \cosh bx = b(A \sinh bx + B \cosh bx) $$

3. Segunda derivada ($y''$):
$$ y'' = b(A \cdot b \cosh bx + B \cdot b \sinh bx) = b^2(A \cosh bx + B \sinh bx) $$

4. Sustitución:
Notamos que el término entre paréntesis es exactamente la función original $y$. Por lo tanto:
$$ \boxed{y'' = b^2 y} $$