1. Datos del problema:
Función trigonométrica inversa compuesta con una función hiperbólica.

2. Fórmulas o propiedades usadas:

• Derivada de arcotangente: $\frac{d}{dx}(\arctan u) = \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{du}{dx}$


• Derivada de seno hiperbólico: $\frac{d}{dx}(\sinh x) = \cosh x$


• Identidad pitagórica hiperbólica: $1 + \sinh^2 x = \cosh^2 x$

3. Desarrollo paso a paso:
Derivamos usando la regla de la cadena:
$$ \begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{1 + (\sinh x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(\sinh x) \\ &= \frac{1}{1 + \sinh^2 x} \cdot \cosh x \end{aligned} $$
Sustituimos el denominador usando la identidad $1 + \sinh^2 x = \cosh^2 x$:
$$ \begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= \frac{\cosh x}{\cosh^2 x} \\ &= \frac{1}{\cosh x} \end{aligned} $$
Dado que $\frac{1}{\cosh x} = \text{sech } x$:

4. Resultado final:
$$ \boxed{\frac{dy}{dx} = \text{sech } x} $$