Ii
CAL1 • Integrales
CALC_DER_369
Ejercicios de Cálculo
Enunciado
Demostrar las siguientes identidades para funciones hiperbólicas:
- [(a)] $\sinh (x + y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y$
- [(b)] $\cosh (x + y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y$
- [(c)] $\sinh 2x = 2 \sinh x \cosh x$
- [(d)] $\cosh 2x = \cosh^2 x + \sinh^2 x = 2 \cosh^2 x - 1 = 2 \sinh^2 x + 1$
- [(e)] $\tanh 2x = \frac{2 \tanh x}{1 + \tanh^2 x}$
Solución Paso a Paso
Para demostrar estas identidades, utilizaremos las definiciones fundamentales en términos de funciones exponenciales:
$$ \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \quad \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} $$
(a) Demostración de $\sinh(x + y)$:
Partimos del lado derecho de la ecuación:
$$ \begin{aligned} \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y &= \left( \frac{e^x - e^{-x}}{2} \right) \left( \frac{e^y + e^{-y}}{2} \right) + \left( \frac{e^x + e^{-x}}{2} \right) \left( \frac{e^y - e^{-y}}{2} \right) \\ &= \frac{e^{x+y} + e^{x-y} - e^{-x+y} - e^{-x-y}}{4} + \frac{e^{x+y} - e^{x-y} + e^{-x+y} - e^{-x-y}}{4} \\ &= \frac{2e^{x+y} - 2e^{-(x+y)}}{4} = \frac{e^{x+y} - e^{-(x+y)}}{2} \\ &= \sinh(x + y) \end{aligned} $$
(b) Demostración de $\cosh(x + y)$:
$$ \begin{aligned} \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y &= \left( \frac{e^x + e^{-x}}{2} \right) \left( \frac{e^y + e^{-y}}{2} \right) + \left( \frac{e^x - e^{-x}}{2} \right) \left( \frac{e^y - e^{-y}}{2} \right) \\ &= \frac{e^{x+y} + e^{x-y} + e^{-x+y} + e^{-x-y}}{4} + \frac{e^{x+y} - e^{x-y} - e^{-x+y} + e^{-x-y}}{4} \\ &= \frac{2e^{x+y} + 2e^{-(x+y)}}{4} = \frac{e^{x+y} + e^{-(x+y)}}{2} \\ &= \cosh(x + y) \end{aligned} $$
(c) Demostración de $\sinh 2x$:
Utilizando el resultado del inciso (a) con $y = x$:
$$ \begin{aligned} \sinh(x + x) &= \sinh x \cosh x + \cosh x \sinh x \\ \sinh 2x &= 2 \sinh x \cosh x \end{aligned} $$
(d) Demostración de $\cosh 2x$:
Utilizando el resultado del inciso (b) con $y = x$:
$$ \cosh 2x = \cosh^2 x + \sinh^2 x $$
Usando la identidad fundamental $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$:
1. Si sustituimos $\sinh^2 x = \cosh^2 x - 1$:
$$ \cosh 2x = \cosh^2 x + (\cosh^2 x - 1) = 2\cosh^2 x - 1 $$
2. Si sustituimos $\cosh^2 x = 1 + \sinh^2 x$:
$$ \cosh 2x = (1 + \sinh^2 x) + \sinh^2 x = 2\sinh^2 x + 1 $$
(e) Demostración de $\tanh 2x$:
Sabemos que $\tanh 2x = \frac{\sinh 2x}{\cosh 2x}$. Usando los resultados de (c) y (d):
$$ \begin{aligned} \tanh 2x &= \frac{2 \sinh x \cosh x}{\cosh^2 x + \sinh^2 x} \\ \text{Dividiendo numerador y denominador por } \cosh^2 x: \\ \tanh 2x &= \frac{\frac{2 \sinh x \cosh x}{\cosh^2 x}}{\frac{\cosh^2 x + \sinh^2 x}{\cosh^2 x}} = \frac{2 \frac{\sinh x}{\cosh x}}{1 + \frac{\sinh^2 x}{\cosh^2 x}} \\ \tanh 2x &= \frac{2 \tanh x}{1 + \tanh^2 x} \end{aligned} $$
$$ \boxed{\text{Queda demostrado que las identidades hiperbólicas son válidas.}} $$
$$ \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \quad \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} $$
(a) Demostración de $\sinh(x + y)$:
Partimos del lado derecho de la ecuación:
$$ \begin{aligned} \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y &= \left( \frac{e^x - e^{-x}}{2} \right) \left( \frac{e^y + e^{-y}}{2} \right) + \left( \frac{e^x + e^{-x}}{2} \right) \left( \frac{e^y - e^{-y}}{2} \right) \\ &= \frac{e^{x+y} + e^{x-y} - e^{-x+y} - e^{-x-y}}{4} + \frac{e^{x+y} - e^{x-y} + e^{-x+y} - e^{-x-y}}{4} \\ &= \frac{2e^{x+y} - 2e^{-(x+y)}}{4} = \frac{e^{x+y} - e^{-(x+y)}}{2} \\ &= \sinh(x + y) \end{aligned} $$
(b) Demostración de $\cosh(x + y)$:
$$ \begin{aligned} \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y &= \left( \frac{e^x + e^{-x}}{2} \right) \left( \frac{e^y + e^{-y}}{2} \right) + \left( \frac{e^x - e^{-x}}{2} \right) \left( \frac{e^y - e^{-y}}{2} \right) \\ &= \frac{e^{x+y} + e^{x-y} + e^{-x+y} + e^{-x-y}}{4} + \frac{e^{x+y} - e^{x-y} - e^{-x+y} + e^{-x-y}}{4} \\ &= \frac{2e^{x+y} + 2e^{-(x+y)}}{4} = \frac{e^{x+y} + e^{-(x+y)}}{2} \\ &= \cosh(x + y) \end{aligned} $$
(c) Demostración de $\sinh 2x$:
Utilizando el resultado del inciso (a) con $y = x$:
$$ \begin{aligned} \sinh(x + x) &= \sinh x \cosh x + \cosh x \sinh x \\ \sinh 2x &= 2 \sinh x \cosh x \end{aligned} $$
(d) Demostración de $\cosh 2x$:
Utilizando el resultado del inciso (b) con $y = x$:
$$ \cosh 2x = \cosh^2 x + \sinh^2 x $$
Usando la identidad fundamental $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$:
1. Si sustituimos $\sinh^2 x = \cosh^2 x - 1$:
$$ \cosh 2x = \cosh^2 x + (\cosh^2 x - 1) = 2\cosh^2 x - 1 $$
2. Si sustituimos $\cosh^2 x = 1 + \sinh^2 x$:
$$ \cosh 2x = (1 + \sinh^2 x) + \sinh^2 x = 2\sinh^2 x + 1 $$
(e) Demostración de $\tanh 2x$:
Sabemos que $\tanh 2x = \frac{\sinh 2x}{\cosh 2x}$. Usando los resultados de (c) y (d):
$$ \begin{aligned} \tanh 2x &= \frac{2 \sinh x \cosh x}{\cosh^2 x + \sinh^2 x} \\ \text{Dividiendo numerador y denominador por } \cosh^2 x: \\ \tanh 2x &= \frac{\frac{2 \sinh x \cosh x}{\cosh^2 x}}{\frac{\cosh^2 x + \sinh^2 x}{\cosh^2 x}} = \frac{2 \frac{\sinh x}{\cosh x}}{1 + \frac{\sinh^2 x}{\cosh^2 x}} \\ \tanh 2x &= \frac{2 \tanh x}{1 + \tanh^2 x} \end{aligned} $$
$$ \boxed{\text{Queda demostrado que las identidades hiperbólicas son válidas.}} $$