1. Datos del problema:
Función: $y = x^2 e^x$. Se requiere la tercera derivada.

2. Desarrollo paso a paso:
Primera derivada ($y'$):
Usamos regla del producto:
$$ y' = (2x)(e^x) + (x^2)(e^x) = (x^2 + 2x)e^x $$

Segunda derivada ($y''$):
Derivamos $y'$ usando producto nuevamente:
$$ y'' = \frac{d}{dx}(x^2 + 2x) \cdot e^x + (x^2 + 2x) \cdot \frac{d}{dx}(e^x) $$
$$ y'' = (2x + 2)e^x + (x^2 + 2x)e^x $$
Factorizamos $e^x$:
$$ y'' = (x^2 + 2x + 2x + 2)e^x = (x^2 + 4x + 2)e^x $$

Tercera derivada ($y'''$):
Derivamos $y''$:
$$ y''' = \frac{d}{dx}(x^2 + 4x + 2) \cdot e^x + (x^2 + 4x + 2) \cdot e^x $$
$$ y''' = (2x + 4)e^x + (x^2 + 4x + 2)e^x $$
Factorizamos $e^x$:
$$ y''' = (x^2 + 4x + 2x + 4 + 2)e^x $$
$$ y''' = (x^2 + 6x + 6)e^x $$

4. Resultado final:
Se ha verificado la igualdad solicitada.
$$ \boxed{y''' = (x^2 + 6x + 6)e^x} $$