1. Datos del problema:
$$ y = \arcsin(e^x) $$

2. Fórmulas o propiedades usadas:

• $\frac{d}{dx}[\arcsin u] = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \frac{du}{dx}$

3. Desarrollo paso a paso:
Sea $u = e^x$. Entonces $u' = e^x$.
Aplicamos la fórmula de la derivada de la función arco seno:
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (e^x)^2}} \cdot e^x $$
Simplificamos el término $(e^x)^2$ usando leyes de exponentes $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$$ (e^x)^2 = e^{2x} $$
Sustituimos:
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{e^x}{\sqrt{1 - e^{2x}}} $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{e^x}{\sqrt{1 - e^{2x}}}} $$