Iv
MATU • Aplicaciones_derivada
CALC_DER_358
Granville
Enunciado
Paso 1:
Demuestre que el ángulo de intersección de las curvas $y = \ln(x - 2)$ y $y = x^2 - 4x + 3$ en el punto $(3, 0)$ es $\phi = \arctan \frac{1}{3}$.
Demuestre que el ángulo de intersección de las curvas $y = \ln(x - 2)$ y $y = x^2 - 4x + 3$ en el punto $(3, 0)$ es $\phi = \arctan \frac{1}{3}$.
Solución Paso a Paso
1. Pendientes en el punto (3, 0):
Para $y_1 = \ln(x - 2)$:
$$ m_1 = y_1'(3) = \frac{1}{3 - 2} = 1 $$
Para $y_2 = x^2 - 4x + 3$:
$$ m_2 = y_2'(3) = 2(3) - 4 = 2 $$
2. Fórmula del ángulo entre curvas:
$$ \tan \phi = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right| $$
Sustituyendo valores:
$$ \tan \phi = \left| \frac{2 - 1}{1 + (1)(2)} \right| = \frac{1}{3} $$
3. Conclusión:
$$ \phi = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) $$
$$ \boxed{\phi = \arctan \frac{1}{3}} $$
Para $y_1 = \ln(x - 2)$:
$$ m_1 = y_1'(3) = \frac{1}{3 - 2} = 1 $$
Para $y_2 = x^2 - 4x + 3$:
$$ m_2 = y_2'(3) = 2(3) - 4 = 2 $$
2. Fórmula del ángulo entre curvas:
$$ \tan \phi = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right| $$
Sustituyendo valores:
$$ \tan \phi = \left| \frac{2 - 1}{1 + (1)(2)} \right| = \frac{1}{3} $$
3. Conclusión:
$$ \phi = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) $$
$$ \boxed{\phi = \arctan \frac{1}{3}} $$