Ii
MATU • Aplicaciones_derivada
CALC_DER_356
Granville
Enunciado
Paso 1:
Encontrar la ecuación de la línea tangente a la curva $y = \ln x$ en cualquiera de sus puntos $(x_0, y_0)$. Utilice el intercepto con el eje $y$ de la línea tangente para obtener una construcción simple de la misma.
Encontrar la ecuación de la línea tangente a la curva $y = \ln x$ en cualquiera de sus puntos $(x_0, y_0)$. Utilice el intercepto con el eje $y$ de la línea tangente para obtener una construcción simple de la misma.
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
Curva: $y = \ln x$. Punto de tangencia: $P(x_0, y_0)$.
2. Desarrollo paso a paso:
La pendiente de la tangente $m$ es la derivada evaluada en $x_0$:
$$ f'(x) = \frac{1}{x} \implies m = \frac{1}{x_0} $$
La ecuación punto-pendiente es:
$$ y - y_0 = \frac{1}{x_0}(x - x_0) $$
Para hallar el intercepto con el eje $y$, hacemos $x = 0$:
$$ \begin{aligned} y - y_0 &= \frac{1}{x_0}(0 - x_0) \\ y - y_0 &= -1 \\ y &= y_0 - 1 \end{aligned} $$
Construcción: El intercepto con el eje $y$ siempre está exactamente una unidad por debajo de la ordenada del punto de tangencia.
3. Resultado:
$$ \boxed{y - y_0 = \frac{1}{x_0}(x - x_0)} $$
Curva: $y = \ln x$. Punto de tangencia: $P(x_0, y_0)$.
2. Desarrollo paso a paso:
La pendiente de la tangente $m$ es la derivada evaluada en $x_0$:
$$ f'(x) = \frac{1}{x} \implies m = \frac{1}{x_0} $$
La ecuación punto-pendiente es:
$$ y - y_0 = \frac{1}{x_0}(x - x_0) $$
Para hallar el intercepto con el eje $y$, hacemos $x = 0$:
$$ \begin{aligned} y - y_0 &= \frac{1}{x_0}(0 - x_0) \\ y - y_0 &= -1 \\ y &= y_0 - 1 \end{aligned} $$
Construcción: El intercepto con el eje $y$ siempre está exactamente una unidad por debajo de la ordenada del punto de tangencia.
3. Resultado:
$$ \boxed{y - y_0 = \frac{1}{x_0}(x - x_0)} $$