1. Datos del problema:
Se tiene una función producto donde $u = \frac{1}{5}x^5$ y $v = \ln x - \frac{1}{5}$.

2. Fórmulas a utilizar:

• Regla del producto: $\frac{d}{dx}(uv) = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}$
• Derivada de una potencia: $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$
• Derivada del logaritmo natural: $\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$

3. Desarrollo paso a paso:
Derivamos aplicando la regla del producto:
$$ \begin{aligned} y' &= \frac{1}{5}x^5 \cdot \frac{d}{dx}\left( \ln x - \frac{1}{5} \right) + \left( \ln x - \frac{1}{5} \right) \cdot \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{5}x^5 \right) \\ y' &= \frac{1}{5}x^5 \left( \frac{1}{x} \right) + \left( \ln x - \frac{1}{5} \right) \left( x^4 \right) \end{aligned} $$
Simplificamos los términos:
$$ \begin{aligned} y' &= \frac{1}{5}x^4 + x^4 \ln x - \frac{1}{5}x^4 \\ y' &= x^4 \ln x \end{aligned} $$

4. Resultado:
$$ \boxed{y' = x^4 \ln x} $$