1. Datos del problema:
Hallar $dy/dx$ para $y = \ln(\ln \tan x)$.

2. Fórmulas o propiedades usadas:
$\frac{d}{dx}(\ln u) = \frac{u'}{u}$
$\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x$
Identidad: $\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$, $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$
Identidad del ángulo doble: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$

3. Desarrollo paso a paso:
Aplicamos la regla de la cadena para la función externa:
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ln \tan x} \cdot \frac{d}{dx}(\ln \tan x) $$

Derivamos la función interna $(\ln \tan x)$:
$$ \frac{d}{dx}(\ln \tan x) = \frac{1}{\tan x} \cdot \sec^2 x $$

Sustituimos y simplificamos la expresión trigonométrica:
$$ \frac{1}{\tan x} \cdot \sec^2 x = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\sin x \cos x} $$

Multiplicamos y dividimos por 2 para usar el ángulo doble:
$$ \frac{1}{\sin x \cos x} \cdot \frac{2}{2} = \frac{2}{2 \sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x} $$

Finalmente, unimos las partes:
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ln \tan x} \cdot \frac{2}{\sin 2x} $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sin 2x \ln \tan x}} $$