Iv
CAL1 • Aplicaciones_derivada
CALC_DER_343
Problemas de aplicación física
Enunciado
Se debe colocar una luz directamente sobre el centro de un terreno circular de radio $30\text{ ft}$, a una altura tal que el borde del terreno reciba la máxima iluminación. Encuentre la altura si la intensidad $I$ en cualquier punto del borde es directamente proporcional al coseno del ángulo de incidencia $\theta$ e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia $y$ desde la fuente.
$$ I = k \frac{\cos \theta}{y^2} $$
Sugerencia: Sea $x$ la altura requerida. La intensidad se puede expresar como $I = \frac{kx}{(x^2 + 900)^{3/2}}$.
$$ I = k \frac{\cos \theta}{y^2} $$
Sugerencia: Sea $x$ la altura requerida. La intensidad se puede expresar como $I = \frac{kx}{(x^2 + 900)^{3/2}}$.
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
2. Fórmulas y propiedades usadas:
3. Desarrollo paso a paso:
Derivamos $I(x)$ respecto a $x$ usando la regla del cociente:
$$ \begin{aligned} I'(x) &= k \frac{(1)(x^2 + 900)^{3/2} - (x) \cdot \frac{3}{2}(x^2 + 900)^{1/2}(2x)}{((x^2 + 900)^{3/2})^2} \\ I'(x) &= k \frac{(x^2 + 900)^{3/2} - 3x^2(x^2 + 900)^{1/2}}{(x^2 + 900)^3} \end{aligned} $$
Igualamos a cero el numerador:
$$ \begin{aligned} (x^2 + 900)^{3/2} - 3x^2(x^2 + 900)^{1/2} &= 0 \\ (x^2 + 900)^{1/2} \left[ (x^2 + 900) - 3x^2 \right] &= 0 \end{aligned} $$
Como $(x^2 + 900)^{1/2} \neq 0$, resolvemos:
$$ \begin{aligned} x^2 + 900 - 3x^2 &= 0 \\ 900 &= 2x^2 \\ x^2 &= 450 \\ x &= \sqrt{450} = \sqrt{225 \cdot 2} \\ x &= 15\sqrt{2} \end{aligned} $$
4. Resultado final:
La altura óptima para la máxima iluminación es:
$$ \boxed{15\sqrt{2} \approx 21.21\text{ ft}} $$
- Radio del círculo: $r = 30\text{ ft}$.
- Altura de la luz: $x$.
- Distancia de la luz al borde: $y = \sqrt{x^2 + 30^2} = \sqrt{x^2 + 900}$.
- Ángulo de incidencia $\theta$ (entre el rayo y la vertical): $\cos \theta = \frac{x}{y}$.
2. Fórmulas y propiedades usadas:
- Función de intensidad: $I(x) = k \frac{\cos \theta}{y^2} = k \frac{x/y}{y^2} = \frac{kx}{y^3}$.
- Sustituyendo $y$: $I(x) = \frac{kx}{(x^2 + 900)^{3/2}}$.
- Para maximizar, buscamos $I'(x) = 0$.
3. Desarrollo paso a paso:
Derivamos $I(x)$ respecto a $x$ usando la regla del cociente:
$$ \begin{aligned} I'(x) &= k \frac{(1)(x^2 + 900)^{3/2} - (x) \cdot \frac{3}{2}(x^2 + 900)^{1/2}(2x)}{((x^2 + 900)^{3/2})^2} \\ I'(x) &= k \frac{(x^2 + 900)^{3/2} - 3x^2(x^2 + 900)^{1/2}}{(x^2 + 900)^3} \end{aligned} $$
Igualamos a cero el numerador:
$$ \begin{aligned} (x^2 + 900)^{3/2} - 3x^2(x^2 + 900)^{1/2} &= 0 \\ (x^2 + 900)^{1/2} \left[ (x^2 + 900) - 3x^2 \right] &= 0 \end{aligned} $$
Como $(x^2 + 900)^{1/2} \neq 0$, resolvemos:
$$ \begin{aligned} x^2 + 900 - 3x^2 &= 0 \\ 900 &= 2x^2 \\ x^2 &= 450 \\ x &= \sqrt{450} = \sqrt{225 \cdot 2} \\ x &= 15\sqrt{2} \end{aligned} $$
4. Resultado final:
La altura óptima para la máxima iluminación es:
$$ \boxed{15\sqrt{2} \approx 21.21\text{ ft}} $$