Ii
CAL1 • Derivacion
CALC_DER_334
Stewart Calculus
Enunciado
Derive las fórmulas de derivación para las siguientes funciones trigonométricas inversas:
- [21.] $\frac{d}{dx}(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
- [22.] $\frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1+x^2}$
- [23.] $\frac{d}{dx}(\text{arccot } x) = -\frac{1}{1+x^2}$
- [25.] $\frac{d}{dx}(\text{arccsc } x) = -\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$
Solución Paso a Paso
Para derivar funciones de la forma $y = f^{-1}(x)$, aplicamos la función original a ambos lados para obtener $f(y) = x$ y luego derivamos implícitamente con respecto a $x$.
1. Derivada de $y = \arccos x$
Sea $y = \arccos x$, lo que implica que $\cos y = x$ para $0 \le y \le \pi$. Derivamos ambos lados respecto a $x$:
$$ \begin{aligned} \frac{d}{dx}(\cos y) &= \frac{d}{dx}(x) \\ -\sin y \frac{dy}{dx} &= 1 \\ \frac{dy}{dx} &= -\frac{1}{\sin y} \end{aligned} $$
Usando la identidad $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$, y sabiendo que $\sin y \ge 0$ en el rango dado:
$\sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$. Sustituyendo:
$$ \boxed{\frac{d}{dx}(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}} $$
2. Derivada de $y = \arctan x$
Sea $y = \arctan x$, entonces $\tan y = x$. Derivamos respecto a $x$:
$$ \begin{aligned} \sec^2 y \frac{dy}{dx} &= 1 \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{\sec^2 y} \end{aligned} $$
Usando la identidad $\sec^2 y = 1 + \tan^2 y$, y como $\tan y = x$:
$\sec^2 y = 1 + x^2$. Sustituyendo:
$$ \boxed{\frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1+x^2}} $$
3. Derivada de $y = \text{arccot } x$
Sea $y = \text{arccot } x$, entonces $\cot y = x$. Derivamos respecto a $x$:
$$ \begin{aligned} -\csc^2 y \frac{dy}{dx} &= 1 \\ \frac{dy}{dx} &= -\frac{1}{\csc^2 y} \end{aligned} $$
Usando la identidad $\csc^2 y = 1 + \cot^2 y$, tenemos $\csc^2 y = 1 + x^2$. Sustituyendo:
$$ \boxed{\frac{d}{dx}(\text{arccot } x) = -\frac{1}{1+x^2}} $$
4. Derivada de $y = \text{arccsc } x$
Sea $y = \text{arccsc } x$, entonces $\csc y = x$. Derivamos respecto a $x$:
$$ \begin{aligned} -\csc y \cot y \frac{dy}{dx} &= 1 \\ \frac{dy}{dx} &= -\frac{1}{\csc y \cot y} \end{aligned} $$
Sabemos que $\csc y = x$. Para $\cot y$, usamos $\cot y = \pm\sqrt{\csc^2 y - 1} = \pm\sqrt{x^2 - 1}$. Debido a las restricciones de dominio y rango usuales (donde el producto $\csc y \cot y$ es positivo si $x > 1$ y negativo si $x < -1$), la expresión se simplifica usando el valor absoluto en contextos más generales, pero siguiendo la fórmula del texto:
$$ \boxed{\frac{d}{dx}(\text{arccsc } x) = -\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}} $$
1. Derivada de $y = \arccos x$
Sea $y = \arccos x$, lo que implica que $\cos y = x$ para $0 \le y \le \pi$. Derivamos ambos lados respecto a $x$:
$$ \begin{aligned} \frac{d}{dx}(\cos y) &= \frac{d}{dx}(x) \\ -\sin y \frac{dy}{dx} &= 1 \\ \frac{dy}{dx} &= -\frac{1}{\sin y} \end{aligned} $$
Usando la identidad $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$, y sabiendo que $\sin y \ge 0$ en el rango dado:
$\sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$. Sustituyendo:
$$ \boxed{\frac{d}{dx}(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}} $$
2. Derivada de $y = \arctan x$
Sea $y = \arctan x$, entonces $\tan y = x$. Derivamos respecto a $x$:
$$ \begin{aligned} \sec^2 y \frac{dy}{dx} &= 1 \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{\sec^2 y} \end{aligned} $$
Usando la identidad $\sec^2 y = 1 + \tan^2 y$, y como $\tan y = x$:
$\sec^2 y = 1 + x^2$. Sustituyendo:
$$ \boxed{\frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1+x^2}} $$
3. Derivada de $y = \text{arccot } x$
Sea $y = \text{arccot } x$, entonces $\cot y = x$. Derivamos respecto a $x$:
$$ \begin{aligned} -\csc^2 y \frac{dy}{dx} &= 1 \\ \frac{dy}{dx} &= -\frac{1}{\csc^2 y} \end{aligned} $$
Usando la identidad $\csc^2 y = 1 + \cot^2 y$, tenemos $\csc^2 y = 1 + x^2$. Sustituyendo:
$$ \boxed{\frac{d}{dx}(\text{arccot } x) = -\frac{1}{1+x^2}} $$
4. Derivada de $y = \text{arccsc } x$
Sea $y = \text{arccsc } x$, entonces $\csc y = x$. Derivamos respecto a $x$:
$$ \begin{aligned} -\csc y \cot y \frac{dy}{dx} &= 1 \\ \frac{dy}{dx} &= -\frac{1}{\csc y \cot y} \end{aligned} $$
Sabemos que $\csc y = x$. Para $\cot y$, usamos $\cot y = \pm\sqrt{\csc^2 y - 1} = \pm\sqrt{x^2 - 1}$. Debido a las restricciones de dominio y rango usuales (donde el producto $\csc y \cot y$ es positivo si $x > 1$ y negativo si $x < -1$), la expresión se simplifica usando el valor absoluto en contextos más generales, pero siguiendo la fórmula del texto:
$$ \boxed{\frac{d}{dx}(\text{arccsc } x) = -\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}} $$