1. Datos e Identificación de Variables:

• Altura del poste (constante): $h = 50$ pies.


• Ángulo de elevación: $\theta = 45^\circ = \frac{\pi}{4}$ rad.


• Razón de cambio del ángulo: $\frac{d\theta}{dt} = -\frac{1}{4}$ rad/h (negativo porque disminuye).


• Sombra: $s$.


• Incógnita: $\frac{ds}{dt}$.

2. Relación Geométrica:
En un triángulo rectángulo formado por el poste y su sombra:
$$ \tan \theta = \frac{h}{s} \implies s = h \cot \theta $$

3. Derivación respecto al tiempo ($t$):
$$ \frac{ds}{dt} = h \cdot (-\csc^2 \theta) \cdot \frac{d\theta}{dt} $$

4. Sustitución de valores:
Para $\theta = \frac{\pi}{4}$:
$$ \csc \left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \implies \csc^2 \left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 $$
Sustituyendo en la fórmula:
$$ \begin{aligned} \frac{ds}{dt} &= 50 \cdot (-2) \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) \\ \frac{ds}{dt} &= \frac{100}{4} = 25 \end{aligned} $$

5. Conclusión: La sombra se está alargando a una velocidad de 25 pies/h.

$$ \boxed{25 \text{ ft/h}} $$