Parte (a):
1. Datos: Se tiene la función $y = 3 \sin (2x + 3)$. Debemos verificar si satisface la ecuación diferencial $y'' + 4y = 0$.
2. Primera derivada ($y'$): Aplicando la regla de la cadena:
$$ y' = \frac{d}{dx}[3 \sin (2x + 3)] = 3 \cos (2x + 3) \cdot 2 = 6 \cos (2x + 3) $$
3. Segunda derivada ($y''$): Derivando nuevamente:
$$ y'' = \frac{d}{dx}[6 \cos (2x + 3)] = 6 [-\sin (2x + 3)] \cdot 2 = -12 \sin (2x + 3) $$
4. Sustitución en la ecuación:
$$ y'' + 4y = [-12 \sin (2x + 3)] + 4[3 \sin (2x + 3)] $$
$$ y'' + 4y = -12 \sin (2x + 3) + 12 \sin (2x + 3) = 0 $$
Se cumple la igualdad.

Parte (b):
1. Datos: $y = \sin x + 2 \cos x$. Debemos verificar $y''' + y'' + y' + y = 0$.
2. Cálculo de derivadas sucesivas:

• $y' = \cos x - 2 \sin x$


• $y'' = -\sin x - 2 \cos x$


• $y''' = -\cos x + 2 \sin x$

3. Sustitución:
$$ \begin{aligned} y''' + y'' + y' + y &= (-\cos x + 2 \sin x) + (-\sin x - 2 \cos x) + (\cos x - 2 \sin x) + (\sin x + 2 \cos x) \\ &= (-\cos x + \cos x) + (2 \sin x - 2 \sin x) + (-\sin x + \sin x) + (-2 \cos x + 2 \cos x) \\ &= 0 + 0 + 0 + 0 = 0 \end{aligned} $$
$$ \boxed{0 = 0} $$