1. Datos y fórmulas:
Usaremos la regla del cociente para derivadas:
$$ \frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2} $$
Y las derivadas de funciones trigonométricas con regla de la cadena:

• $\frac{d}{d\theta} \tan(2\theta) = 2 \sec^2 2\theta$


• $\frac{d}{d\theta} \cot(2\theta) = -2 \csc^2 2\theta$

2. Desarrollo paso a paso:
Identificamos los términos:
$u = \tan 2\theta \implies u' = 2 \sec^2 2\theta$
$v = 1 - \cot 2\theta \implies v' = -(-2 \csc^2 2\theta) = 2 \csc^2 2\theta$

Aplicamos la regla del cociente:
$$ \frac{d\rho}{d\theta} = \frac{(1 - \cot 2\theta)(2 \sec^2 2\theta) - (\tan 2\theta)(2 \csc^2 2\theta)}{(1 - \cot 2\theta)^2} $$

Factorizamos el 2 en el numerador:
$$ \frac{d\rho}{d\theta} = 2 \frac{\sec^2 2\theta - \cot 2\theta \sec^2 2\theta - \tan 2\theta \csc^2 2\theta}{(1 - \cot 2\theta)^2} $$

Simplificamos los términos trigonométricos intermedios:

• $\cot 2\theta \sec^2 2\theta = \frac{\cos 2\theta}{\sin 2\theta} \cdot \frac{1}{\cos^2 2\theta} = \frac{1}{\sin 2\theta \cos 2\theta}$


• $\tan 2\theta \csc^2 2\theta = \frac{\sin 2\theta}{\cos 2\theta} \cdot \frac{1}{\sin^2 2\theta} = \frac{1}{\cos 2\theta \sin 2\theta}$

Sumando estos dos términos:
$$ \frac{1}{\sin 2\theta \cos 2\theta} + \frac{1}{\sin 2\theta \cos 2\theta} = \frac{2}{\sin 2\theta \cos 2\theta} $$
Usando la identidad del ángulo doble $\sin 4\theta = 2 \sin 2\theta \cos 2\theta$:
$$ \frac{2}{\frac{\sin 4\theta}{2}} = \frac{4}{\sin 4\theta} = 4 \csc 4\theta $$

Sustituyendo de vuelta:
$$ \boxed{\frac{d\rho}{d\theta} = 2 \frac{\sec^2 2\theta - 4 \csc 4\theta}{(1 - \cot 2\theta)^2}} $$