1. Datos del problema:
Función con variable independiente $\theta$. Reescribimos como potencia negativa: $\rho = (\sec 2\theta - 1)^{-3/2}$.

2. Fórmulas usadas:

• $\frac{d}{dx}[u^n] = n u^{n-1} u'$
• $\frac{d}{d\theta}[\sec u] = \sec u \tan u \cdot u'$

3. Desarrollo paso a paso:
Derivamos respecto a $\theta$:
$$ \begin{aligned} \rho' &= -\frac{3}{2} (\sec 2\theta - 1)^{-3/2 - 1} \cdot \frac{d}{d\theta}(\sec 2\theta - 1) \\ \rho' &= -\frac{3}{2} (\sec 2\theta - 1)^{-5/2} \cdot (\sec 2\theta \tan 2\theta \cdot 2) \end{aligned} $$
Simplificamos el factor $2$ con el denominador:
$$ \rho' = -3 (\sec 2\theta - 1)^{-5/2} \sec 2\theta \tan 2\theta $$
Reescribiendo como fracción:
$$ \rho' = \frac{-3 \sec 2\theta \tan 2\theta}{(\sec 2\theta - 1)^{5/2}} $$

4. Resultado:
$$ \boxed{\rho' = \frac{-3 \sec 2\theta \tan 2\theta}{(\sec 2\theta - 1)^{5/2}}} $$