Para resolver estos límites, utilizaremos el límite fundamental trigonométrico:
$$ \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 $$

Inciso (a):
1. Partimos de la expresión original: $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}$.
2. Para aplicar el límite fundamental, el argumento del seno ($2x$) debe ser igual al denominador. Multiplicamos y dividimos por $2$:
$$ \lim_{x \to 0} \left( 2 \cdot \frac{\sin 2x}{2x} \right) $$
3. Aplicamos la propiedad de la constante en límites y el límite fundamental:
$$ 2 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 2 \cdot (1) = 2 $$
$$ \boxed{2} $$

Inciso (b):
1. Tenemos $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx}$. Dividimos tanto el numerador como el denominador entre $x$:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin ax}{x}}{\frac{\sin bx}{x}} $$
2. Ajustamos cada fracción multiplicando y dividiendo por sus constantes respectivas ($a$ y $b$):
$$ \frac{\lim_{x \to 0} a \cdot \frac{\sin ax}{ax}}{\lim_{x \to 0} b \cdot \frac{\sin bx}{bx}} $$
3. Aplicando el límite fundamental:
$$ \frac{a \cdot 1}{b \cdot 1} = \frac{a}{b} $$
$$ \boxed{\frac{a}{b}} $$

Inciso (c):
1. El límite es $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin^3 2x}{x \sin^2 3x}$. Vamos a reestructurar la expresión para usar el límite fundamental:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{(\sin 2x)^3}{x (\sin 3x)^2} $$
2. Dividimos y multiplicamos por las potencias de $x$ necesarias para normalizar los senos:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{(\sin 2x)^3}{(2x)^3} \cdot (2x)^3}{x \cdot \frac{(\sin 3x)^2}{(3x)^2} \cdot (3x)^2} $$
3. Simplificamos las potencias de $x$:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\left(\frac{\sin 2x}{2x}\right)^3 \cdot 8x^3}{x \cdot \left(\frac{\sin 3x}{3x}\right)^2 \cdot 9x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\left(\frac{\sin 2x}{2x}\right)^3 \cdot 8x^3}{9x^3 \cdot \left(\frac{\sin 3x}{3x}\right)^2} $$
4. Cancelamos $x^3$ y evaluamos:
$$ \frac{8}{9} \cdot \frac{(1)^3}{(1)^2} = \frac{8}{9} $$
$$ \boxed{\frac{8}{9}} $$