Ii
CAL1 • Aplicaciones_derivada
CALC_DER_308
Schaum - Cálculo Diferencial e Integral
Enunciado
Paso 1:
Una solución pasa a través de un filtro cónico de $24 \text{ in}$ de profundidad y $16 \text{ in}$ de ancho en la parte superior, hacia un recipiente cilíndrico de diámetro $12 \text{ in}$. ¿A qué velocidad sube el nivel de la solución en el cilindro si, cuando la profundidad de la solución en el filtro es de $12 \text{ in}$, su nivel baja a razón de $1 \text{ in/min}$?
Una solución pasa a través de un filtro cónico de $24 \text{ in}$ de profundidad y $16 \text{ in}$ de ancho en la parte superior, hacia un recipiente cilíndrico de diámetro $12 \text{ in}$. ¿A qué velocidad sube el nivel de la solución en el cilindro si, cuando la profundidad de la solución en el filtro es de $12 \text{ in}$, su nivel baja a razón de $1 \text{ in/min}$?
Solución Paso a Paso
1. Datos:
2. Análisis de flujo:
El volumen que sale del cono ($dV_{out}/dt$) es el mismo que entra al cilindro ($dV_{in\_cyl}/dt$).
Volumen del cono: $V_c = \frac{\pi}{3} r^2 h = \frac{\pi}{3} (\frac{h}{3})^2 h = \frac{\pi h^3}{27}$.
Tasa de salida del cono:
$$ \frac{dV_c}{dt} = \frac{3\pi h^2}{27} \frac{dh}{dt} = \frac{\pi h^2}{9} \frac{dh}{dt} $$
Evaluando: $\frac{dV_c}{dt} = \frac{\pi (12)^2}{9} (-1) = -16\pi \text{ in}^3/\text{min}$. El caudal de salida es $16\pi$.
3. Nivel en el cilindro:
Volumen del cilindro: $V_{cyl} = \pi R_{cyl}^2 L = \pi (6)^2 L = 36\pi L$.
Derivando respecto al tiempo:
$$ \frac{dV_{cyl}}{dt} = 36\pi \frac{dL}{dt} $$
Igualamos el caudal que entra al cilindro con la magnitud de la salida del cono:
$$ 16\pi = 36\pi \frac{dL}{dt} $$
$$ \frac{dL}{dt} = \frac{16\pi}{36\pi} = \frac{4}{9} \text{ in/min} $$
4. Resultado:
La velocidad a la que sube el nivel en el cilindro es:
$$ \boxed{\frac{4}{9} \text{ in/min}} $$
- Filtro Cónico: $H_c = 24$, $R_c = 8$ (16 de ancho / 2). Relación $r/h = 8/24 = 1/3 \implies r = h/3$.
- Cilindro: $R_{cyl} = 6$ (12 de diámetro / 2).
- Estado actual en el filtro: $h = 12 \text{ in}$, $dh/dt = -1 \text{ in/min}$.
2. Análisis de flujo:
El volumen que sale del cono ($dV_{out}/dt$) es el mismo que entra al cilindro ($dV_{in\_cyl}/dt$).
Volumen del cono: $V_c = \frac{\pi}{3} r^2 h = \frac{\pi}{3} (\frac{h}{3})^2 h = \frac{\pi h^3}{27}$.
Tasa de salida del cono:
$$ \frac{dV_c}{dt} = \frac{3\pi h^2}{27} \frac{dh}{dt} = \frac{\pi h^2}{9} \frac{dh}{dt} $$
Evaluando: $\frac{dV_c}{dt} = \frac{\pi (12)^2}{9} (-1) = -16\pi \text{ in}^3/\text{min}$. El caudal de salida es $16\pi$.
3. Nivel en el cilindro:
Volumen del cilindro: $V_{cyl} = \pi R_{cyl}^2 L = \pi (6)^2 L = 36\pi L$.
Derivando respecto al tiempo:
$$ \frac{dV_{cyl}}{dt} = 36\pi \frac{dL}{dt} $$
Igualamos el caudal que entra al cilindro con la magnitud de la salida del cono:
$$ 16\pi = 36\pi \frac{dL}{dt} $$
$$ \frac{dL}{dt} = \frac{16\pi}{36\pi} = \frac{4}{9} \text{ in/min} $$
4. Resultado:
La velocidad a la que sube el nivel en el cilindro es:
$$ \boxed{\frac{4}{9} \text{ in/min}} $$