1. Datos:

• Tren A (Este): $v_x = 45\text{ mi/h}$, tiempo transcurrido hasta las 3 P.M. = $4\text{ h}$.
• Tren B (Sur): $v_y = 60\text{ mi/h}$, tiempo transcurrido hasta las 3 P.M. = $3\text{ h}$.

2. Relación de distancias:
Sea $x$ la distancia del tren A y $y$ la del tren B. La distancia entre ellos es $D$:
$$ D^2 = x^2 + y^2 $$

3. Desarrollo:
A las 3 P.M.:
$$ x = 45 \times 4 = 180 \text{ mi} $$
$$ y = 60 \times 3 = 180 \text{ mi} $$
$$ D = \sqrt{180^2 + 180^2} = 180\sqrt{2} \text{ mi} $$
Derivamos la relación de Pitágoras:
$$ 2D\frac{dD}{dt} = 2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} \implies D\frac{dD}{dt} = x\frac{dx}{dt} + y\frac{dy}{dt} $$
Sustituimos los valores:
$$ (180\sqrt{2})\frac{dD}{dt} = (180)(45) + (180)(60) $$
Dividimos toda la ecuación entre 180:
$$ \sqrt{2}\frac{dD}{dt} = 45 + 60 = 105 $$
$$ \frac{dD}{dt} = \frac{105}{\sqrt{2}} = \frac{105\sqrt{2}}{2} \text{ mi/h} $$

4. Resultado:
$$ \boxed{\frac{105\sqrt{2}}{2} \text{ mi/h}} $$