Ii
CAL1 • Aplicaciones_derivada
CALC_DER_301
Granville Differential and Integral Calculus
Enunciado
Paso 1:
Se extrae agua de un depósito cónico de $3\text{ ft}$ de radio y $10\text{ ft}$ de profundidad a razón de $4\text{ ft}^3/\text{min}$. ¿Con qué rapidez baja el nivel del agua cuando la profundidad es de $6\text{ ft}$? ¿Con qué rapidez disminuye el radio de la superficie en ese momento?
Se extrae agua de un depósito cónico de $3\text{ ft}$ de radio y $10\text{ ft}$ de profundidad a razón de $4\text{ ft}^3/\text{min}$. ¿Con qué rapidez baja el nivel del agua cuando la profundidad es de $6\text{ ft}$? ¿Con qué rapidez disminuye el radio de la superficie en ese momento?
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
2. Fórmulas y relaciones:
El volumen de un cono es:
$$ V = \frac{1}{3}\pi r^2 h $$
Por semejanza de triángulos en la sección transversal del cono:
$$ \frac{r}{h} = \frac{R}{H} \implies \frac{r}{h} = \frac{3}{10} \implies r = \frac{3}{10}h $$
3. Desarrollo paso a paso:
a) Rapidez con que baja el nivel ($\frac{dh}{dt}$):
Sustituimos $r$ en la fórmula del volumen para tener $V$ en función de $h$:
$$ V = \frac{1}{3}\pi \left( \frac{3}{10}h \right)^2 h = \frac{1}{3}\pi \left( \frac{9}{100}h^2 \right) h = \frac{3\pi}{100}h^3 $$
Derivamos respecto al tiempo $t$:
$$ \frac{dV}{dt} = \frac{3\pi}{100} \cdot 3h^2 \frac{dh}{dt} = \frac{9\pi h^2}{100} \frac{dh}{dt} $$
Despejamos $\frac{dh}{dt}$ para $h = 6$:
$$ -4 = \frac{9\pi (6)^2}{100} \frac{dh}{dt} \implies -4 = \frac{9\pi (36)}{100} \frac{dh}{dt} \implies -4 = \frac{324\pi}{100} \frac{dh}{dt} $$
$$ \frac{dh}{dt} = \frac{-400}{324\pi} = -\frac{100}{81\pi} \text{ ft/min} $$
b) Rapidez con que disminuye el radio ($\frac{dr}{dt}$):
Usamos la relación $r = \frac{3}{10}h$ y derivamos respecto a $t$:
$$ \frac{dr}{dt} = \frac{3}{10} \frac{dh}{dt} $$
Sustituimos el valor hallado de $\frac{dh}{dt}$:
$$ \frac{dr}{dt} = \frac{3}{10} \left( -\frac{100}{81\pi} \right) = -\frac{300}{810\pi} = -\frac{10}{27\pi} \text{ ft/min} $$
4. Resultado:
$$ \boxed{\text{Nivel: } \frac{100}{81\pi} \text{ ft/min}, \quad \text{Radio: } \frac{10}{27\pi} \text{ ft/min}} $$
- Radio del depósito ($R$): $3\text{ ft}$
- Altura del depósito ($H$): $10\text{ ft}$
- Razón de cambio del volumen: $\frac{dV}{dt} = -4\text{ ft}^3/\text{min}$ (negativo porque el volumen disminuye).
- Profundidad en el instante dado ($h$): $6\text{ ft}$
2. Fórmulas y relaciones:
El volumen de un cono es:
$$ V = \frac{1}{3}\pi r^2 h $$
Por semejanza de triángulos en la sección transversal del cono:
$$ \frac{r}{h} = \frac{R}{H} \implies \frac{r}{h} = \frac{3}{10} \implies r = \frac{3}{10}h $$
3. Desarrollo paso a paso:
a) Rapidez con que baja el nivel ($\frac{dh}{dt}$):
Sustituimos $r$ en la fórmula del volumen para tener $V$ en función de $h$:
$$ V = \frac{1}{3}\pi \left( \frac{3}{10}h \right)^2 h = \frac{1}{3}\pi \left( \frac{9}{100}h^2 \right) h = \frac{3\pi}{100}h^3 $$
Derivamos respecto al tiempo $t$:
$$ \frac{dV}{dt} = \frac{3\pi}{100} \cdot 3h^2 \frac{dh}{dt} = \frac{9\pi h^2}{100} \frac{dh}{dt} $$
Despejamos $\frac{dh}{dt}$ para $h = 6$:
$$ -4 = \frac{9\pi (6)^2}{100} \frac{dh}{dt} \implies -4 = \frac{9\pi (36)}{100} \frac{dh}{dt} \implies -4 = \frac{324\pi}{100} \frac{dh}{dt} $$
$$ \frac{dh}{dt} = \frac{-400}{324\pi} = -\frac{100}{81\pi} \text{ ft/min} $$
b) Rapidez con que disminuye el radio ($\frac{dr}{dt}$):
Usamos la relación $r = \frac{3}{10}h$ y derivamos respecto a $t$:
$$ \frac{dr}{dt} = \frac{3}{10} \frac{dh}{dt} $$
Sustituimos el valor hallado de $\frac{dh}{dt}$:
$$ \frac{dr}{dt} = \frac{3}{10} \left( -\frac{100}{81\pi} \right) = -\frac{300}{810\pi} = -\frac{10}{27\pi} \text{ ft/min} $$
4. Resultado:
$$ \boxed{\text{Nivel: } \frac{100}{81\pi} \text{ ft/min}, \quad \text{Radio: } \frac{10}{27\pi} \text{ ft/min}} $$