Iii
FIS1 • Aplicaciones_derivada
CALC_DER_295
Propio
Enunciado
Paso 1:
Examine problemas previos de movimiento rectilíneo para concluir que las paradas con inversión de dirección ocurren en valores de $t$ para los cuales $s = f(t)$ tiene un valor máximo o mínimo, mientras que las paradas sin inversión de dirección ocurren en puntos de inflexión.
Examine problemas previos de movimiento rectilíneo para concluir que las paradas con inversión de dirección ocurren en valores de $t$ para los cuales $s = f(t)$ tiene un valor máximo o mínimo, mientras que las paradas sin inversión de dirección ocurren en puntos de inflexión.
Solución Paso a Paso
1. Análisis conceptual:
2. Relación con el Cálculo:
Caso 1: Máximos y Mínimos.
Si $s'(t) = 0$ y existe un cambio de signo en la derivada, por el criterio de la primera derivada, estamos ante un máximo o mínimo local. Físicamente, el objeto se detiene momentáneamente y regresa, cambiando el signo de su velocidad.
Caso 2: Puntos de Inflexión.
Si $s'(t) = 0$ pero no hay cambio de signo en $s'(t)$ (por ejemplo, $s(t) = t^3$ en $t=0$), entonces $s''(t) = 0$ y la concavidad cambia. Físicamente, el objeto se detiene instantáneamente pero continúa moviéndose en la misma dirección que traía. Esto corresponde a un punto de inflexión con tangente horizontal.
3. Conclusión:
$$ \boxed{\text{Inversión} \iff \text{Extremo Relativo; } \text{Sin inversión} \iff \text{Punto de Inflexión}} $$
- Una "parada" ocurre cuando la velocidad es cero, es decir, $v(t) = s'(t) = 0$.
- Una inversión de dirección ocurre si la velocidad cambia de signo (de $+$ a $-$ o viceversa).
2. Relación con el Cálculo:
Caso 1: Máximos y Mínimos.
Si $s'(t) = 0$ y existe un cambio de signo en la derivada, por el criterio de la primera derivada, estamos ante un máximo o mínimo local. Físicamente, el objeto se detiene momentáneamente y regresa, cambiando el signo de su velocidad.
Caso 2: Puntos de Inflexión.
Si $s'(t) = 0$ pero no hay cambio de signo en $s'(t)$ (por ejemplo, $s(t) = t^3$ en $t=0$), entonces $s''(t) = 0$ y la concavidad cambia. Físicamente, el objeto se detiene instantáneamente pero continúa moviéndose en la misma dirección que traía. Esto corresponde a un punto de inflexión con tangente horizontal.
3. Conclusión:
$$ \boxed{\text{Inversión} \iff \text{Extremo Relativo; } \text{Sin inversión} \iff \text{Punto de Inflexión}} $$