1. Datos del problema:

• Ecuación de posición: $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$
• Unidades: Pies (ft) y segundos (sec).
• Posición inicial ($t=0$): $s(0) = 0^3 - 6(0)^2 + 9(0) = 0$. El origen $O$ coincide con la posición inicial.

2. Fórmulas y derivadas:
La velocidad $v$ es la primera derivada de la posición respecto al tiempo, y la aceleración $a$ es la segunda derivada:
$$ \begin{aligned} v(t) &= \frac{ds}{dt} = 3t^2 - 12t + 9 \\ a(t) &= \frac{dv}{dt} = 6t - 12 \end{aligned} $$
Nota sobre la rapidez: La rapidez aumenta si $v$ y $a$ tienen el mismo signo; disminuye si tienen signos opuestos.

3. Desarrollo por incisos:

(a) Para $t = \frac{1}{2}$:

• Posición: $s = (\frac{1}{2})^3 - 6(\frac{1}{2})^2 + 9(\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} - \frac{6}{4} + \frac{9}{2} = \frac{1 - 12 + 36}{8} = \frac{25}{8}$ ft.
• Velocidad: $v = 3(\frac{1}{4}) - 12(\frac{1}{2}) + 9 = \frac{3}{4} - 6 + 9 = \frac{3}{4} + 3 = \frac{15}{4}$ ft/sec.
• Aceleración: $a = 6(\frac{1}{2}) - 12 = 3 - 12 = -9$ ft/sec$^2$.
• Análisis: $v > 0$ y $a < 0$ (signos opuestos), la rapidez disminuye.

(b) Para $t = \frac{3}{2}$:

• Posición: $s = (\frac{3}{2})^3 - 6(\frac{3}{2})^2 + 9(\frac{3}{2}) = \frac{27}{8} - \frac{54}{4} + \frac{27}{2} = \frac{27 - 108 + 108}{8} = \frac{27}{8}$ ft.
• Velocidad: $v = 3(\frac{9}{4}) - 12(\frac{3}{2}) + 9 = \frac{27}{4} - 18 + 9 = \frac{27}{4} - 9 = -\frac{9}{4}$ ft/sec.
• Aceleración: $a = 6(\frac{3}{2}) - 12 = 9 - 12 = -3$ ft/sec$^2$.
• Análisis: $v < 0$ y $a < 0$ (mismo signo), la rapidez aumenta.

(c) Para $t = \frac{5}{2}$:

• Posición: $s = (\frac{5}{2})^3 - 6(\frac{5}{2})^2 + 9(\frac{5}{2}) = \frac{125}{8} - \frac{150}{4} + \frac{45}{2} = \frac{125 - 300 + 180}{8} = \frac{5}{8}$ ft.
• Velocidad: $v = 3(\frac{25}{4}) - 12(\frac{5}{2}) + 9 = \frac{75}{4} - 30 + 9 = \frac{75}{4} - 21 = -\frac{9}{4}$ ft/sec.
• Aceleración: $a = 6(\frac{5}{2}) - 12 = 15 - 12 = 3$ ft/sec$^2$.
• Análisis: $v < 0$ y $a > 0$ (signos opuestos), la rapidez disminuye.

(d) Para $t = 4$:

• Posición: $s = 4^3 - 6(4^2) + 9(4) = 64 - 96 + 36 = 4$ ft.
• Velocidad: $v = 3(16) - 12(4) + 9 = 48 - 48 + 9 = 9$ ft/sec.
• Aceleración: $a = 6(4) - 12 = 12$ ft/sec$^2$.
• Análisis: $v > 0$ y $a > 0$ (mismo signo), la rapidez aumenta.

4. Conclusión:
$$ \boxed{ \begin{array}{l} (a) \text{ } \frac{25}{8} \text{ ft a la derecha de } O; v = \frac{15}{4} \text{ ft/sec; disminuyendo.} \\ (b) \text{ } \frac{27}{8} \text{ ft a la derecha de } O; v = -\frac{9}{4} \text{ ft/sec; aumentando.} \\ (c) \text{ } \frac{5}{8} \text{ ft a la derecha de } O; v = -\frac{9}{4} \text{ ft/sec; disminuyendo.} \\ (d) \text{ } 4 \text{ ft a la derecha de } O; v = 9 \text{ ft/sec; aumentando.} \end{array} $$