Iv
CAL1 • Aplicaciones_derivada
CALC_DER_287
Cálculo diferencial e integral
Enunciado
Paso 1:
Determine las dimensiones del cilindro circular recto de superficie lateral máxima que puede inscribirse en una esfera de radio 8 in.
Determine las dimensiones del cilindro circular recto de superficie lateral máxima que puede inscribirse en una esfera de radio 8 in.
Solución Paso a Paso
1. Relación de variables:
Sea $R$ el radio del cilindro y $h$ su altura. En una esfera de radio $a=8$, por el teorema de Pitágoras:
$$ R^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = a^2 \implies R^2 = 64 - \frac{h^2}{4} $$
2. Función a optimizar:
El área lateral es $S = 2\pi Rh$. Elevando al cuadrado para simplificar:
$$ S^2 = 4\pi^2 R^2 h^2 = 4\pi^2 \left( 64 - \frac{h^2}{4} \right) h^2 = 4\pi^2 (64h^2 - \frac{h^4}{4}) = \pi^2 (256h^2 - h^4) $$
3. Derivación:
$$ \frac{d(S^2)}{dh} = \pi^2 (512h - 4h^3) = 0 \implies 4h(128 - h^2) = 0 $$
Punto crítico: $h^2 = 128 \implies h = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$.
4. Cálculo de R:
$$ R^2 = 64 - \frac{128}{4} = 64 - 32 = 32 \implies R = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} $$
Por tanto, el diámetro es $2R = 8\sqrt{2}$.
Resultado:
$$ \boxed{h = 2R = 8\sqrt{2} \text{ in}} $$
Sea $R$ el radio del cilindro y $h$ su altura. En una esfera de radio $a=8$, por el teorema de Pitágoras:
$$ R^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = a^2 \implies R^2 = 64 - \frac{h^2}{4} $$
2. Función a optimizar:
El área lateral es $S = 2\pi Rh$. Elevando al cuadrado para simplificar:
$$ S^2 = 4\pi^2 R^2 h^2 = 4\pi^2 \left( 64 - \frac{h^2}{4} \right) h^2 = 4\pi^2 (64h^2 - \frac{h^4}{4}) = \pi^2 (256h^2 - h^4) $$
3. Derivación:
$$ \frac{d(S^2)}{dh} = \pi^2 (512h - 4h^3) = 0 \implies 4h(128 - h^2) = 0 $$
Punto crítico: $h^2 = 128 \implies h = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$.
4. Cálculo de R:
$$ R^2 = 64 - \frac{128}{4} = 64 - 32 = 32 \implies R = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} $$
Por tanto, el diámetro es $2R = 8\sqrt{2}$.
Resultado:
$$ \boxed{h = 2R = 8\sqrt{2} \text{ in}} $$