1. Datos del problema:
Sean $x$ y $y$ los dos números positivos. Según el enunciado:
$$ x + y = 20 \implies y = 20 - x $$
Como ambos son positivos, el dominio de interés es $0 < x < 20$.

2. Fórmulas y propiedades:
Para optimizar una función $f(x)$, encontramos su primera derivada $f'(x)$, igualamos a cero para hallar puntos críticos y verificamos la naturaleza del punto con la segunda derivada $f''(x)$.

3. Desarrollo paso a paso:

Caso (a): Producto máximo ($P = x \cdot y$)
Sustituyendo $y$: $P(x) = x(20 - x) = 20x - x^2$.
Derivando: $P'(x) = 20 - 2x$.
Igualando a cero: $20 - 2x = 0 \implies x = 10$.
Segunda derivada: $P''(x) = -2$ (como es negativo, es un máximo).
Si $x = 10$, entonces $y = 20 - 10 = 10$.

Caso (b): Suma de cuadrados mínima ($S = x^2 + y^2$)
Sustituyendo $y$: $S(x) = x^2 + (20 - x)^2 = x^2 + 400 - 40x + x^2 = 2x^2 - 40x + 400$.
Derivando: $S'(x) = 4x - 40$.
Igualando a cero: $4x - 40 = 0 \implies x = 10$.
Segunda derivada: $S''(x) = 4$ (como es positivo, es un mínimo).
Si $x = 10$, entonces $y = 10$.

Caso (c): Producto del cuadrado de uno por el cubo del otro máximo ($P = x^2 y^3$)
Sustituyendo $y$: $P(x) = x^2 (20 - x)^3$.
Derivando usando la regla del producto:
$$ \begin{aligned} P'(x) &= 2x(20 - x)^3 + x^2 \cdot 3(20 - x)^2 \cdot (-1) \\ P'(x) &= x(20 - x)^2 [2(20 - x) - 3x] \\ P'(x) &= x(20 - x)^2 (40 - 2x - 3x) = x(20 - x)^2 (40 - 5x) \end{aligned} $$
Igualando a cero (para $x \neq 0, 20$): $40 - 5x = 0 \implies x = 8$.
Si $x = 8$, entonces $y = 20 - 8 = 12$.

4. Resultado final:
$$ \boxed{(a) \, 10, 10; \quad (b) \, 10, 10; \quad (c) \, 8, 12} $$