1. Datos del problema y análisis inicial:
Se nos presenta una superficie definida de forma implícita. Sin embargo, para encontrar los extremos relativos, podemos tratarla como una función $f(x, y) = 2x^2 - 4xy + 3y^2 - 8x + 8y - 1$. Buscamos los puntos críticos donde las derivadas parciales de primer orden se anulan simultáneamente.

2. Cálculo de las derivadas parciales de primer orden:
Calculamos las derivadas respecto a $x$ e $y$:
$$ \begin{aligned} f_x &= \frac{\partial}{\partial x}(2x^2 - 4xy + 3y^2 - 8x + 8y - 1) = 4x - 4y - 8 \\ f_y &= \frac{\partial}{\partial y}(2x^2 - 4xy + 3y^2 - 8x + 8y - 1) = -4x + 6y + 8 \end{aligned} $$

3. Determinación de puntos críticos:
Igualamos ambas derivadas a cero para formar un sistema de ecuaciones lineales:
$$ \begin{cases} 4x - 4y = 8 \\ -4x + 6y = -8 \end{cases} $$
Sumando ambas ecuaciones directamente para eliminar $x$:
$$ (4x - 4x) + (-4y + 6y) = 8 - 8 \implies 2y = 0 \implies y = 0 $$
Sustituyendo $y = 0$ en la primera ecuación:
$$ 4x - 4(0) = 8 \implies 4x = 8 \implies x = 2 $$
El punto crítico es $(2, 0)$.

4. Prueba de la segunda derivada (Hessiano):
Calculamos las segundas derivadas parciales:
$$ f_{xx} = 4, \quad f_{yy} = 6, \quad f_{xy} = -4 $$
El determinante de la matriz Hessiana $D$ es:
$$ D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = (4)(6) - (-4)^2 = 24 - 16 = 8 $$
Como $D > 0$ y $f_{xx} > 0$, el punto $(2, 0)$ es un mínimo relativo.

La ecuación representa una cónica (elipse rotada) con un único punto crítico.

$$ \boxed{\text{Mínimo en } (2, 0)} $$