Un punto de inflexión ocurre donde la concavidad de la función cambia, lo que implica que $f''(x)$ debe cambiar de signo en $x_0$.
Si $f''(x_0) = 0$, la función $f''(x)$ cruza o toca el eje $x$ en ese punto.
El valor de $f'''(x_0)$ representa la pendiente de la función $f''(x)$ en $x_0$.
Si $f'''(x_0) \neq 0$:

• Si $f'''(x_0) > 0$, $f''(x)$ es creciente en $x_0$, por lo que pasa de negativa a positiva.
• Si $f'''(x_0) < 0$, $f''(x)$ es decreciente en $x_0$, por lo que pasa de positiva a negativa.

En ambos casos, existe un cambio de signo en la segunda derivada al pasar por $x_0$, lo que define formalmente un punto de inflexión.

$$ \boxed{f''(x_0)=0 \wedge f'''(x_0) \neq 0 \implies \text{Punto de Inflexión}} $$