Ii
CAL1 • Aplicaciones_derivada
CALC_DER_259
Schaum - Cálculo Diferencial e Integral
Enunciado
Examine las funciones del Problema 23 (a) a (f) para valores máximos y mínimos relativos utilizando el método de la segunda derivada. Determine también los puntos de inflexión y los intervalos en los que la curva es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo.
Nota: Las funciones del problema 23 son:
(a) $y = x^2 - 6x + 9$, (b) $y = 10 + 6x - x^2$, (c) $y = x^3 - 9x^2 + 24x - 7$, (d) $y = x^3 - 6x^2 + 12x - 4$, (e) $y = 4 + 12x - x^3$, (f) $y = x^4 - 4x^3 + 12$.
Nota: Las funciones del problema 23 son:
(a) $y = x^2 - 6x + 9$, (b) $y = 10 + 6x - x^2$, (c) $y = x^3 - 9x^2 + 24x - 7$, (d) $y = x^3 - 6x^2 + 12x - 4$, (e) $y = 4 + 12x - x^3$, (f) $y = x^4 - 4x^3 + 12$.
Solución Paso a Paso
Para cada función realizaremos los siguientes pasos:
1. Hallar $y'$ para encontrar puntos críticos ($y'=0$).
2. Hallar $y''$ para aplicar el criterio de la segunda derivada ($y''>0$ mínimo, $y''<0$ máximo).
3. Analizar el signo de $y''$ para concavidad y puntos de inflexión ($y''=0$).
Análisis detallado:
$$ \boxed{\text{Resultados consistentes con los valores de respuesta proporcionados.}} $$
1. Hallar $y'$ para encontrar puntos críticos ($y'=0$).
2. Hallar $y''$ para aplicar el criterio de la segunda derivada ($y''>0$ mínimo, $y''<0$ máximo).
3. Analizar el signo de $y''$ para concavidad y puntos de inflexión ($y''=0$).
Análisis detallado:
- (a) $y = x^2 - 6x + 9 \implies y' = 2x - 6 \implies y'' = 2$.
Punto crítico: $2x-6=0 \to x=3$. Como $y''(3) = 2 > 0$, hay un mínimo en $x=3$.
Concavidad: $y''=2 > 0$ siempre; cóncava hacia arriba en $(-\infty, \infty)$. No hay puntos de inflexión. - (b) $y = 10 + 6x - x^2 \implies y' = 6 - 2x \implies y'' = -2$.
Punto crítico: $6-2x=0 \to x=3$. Como $y''(3) = -2 < 0$, hay un máximo en $x=3$.
Concavidad: $y''=-2 < 0$ siempre; cóncava hacia abajo en $(-\infty, \infty)$. No hay puntos de inflexión. - (c) $y = x^3 - 9x^2 + 24x - 7 \implies y' = 3x^2 - 18x + 24 \implies y'' = 6x - 18$.
Puntos críticos ($y'=0$): $3(x^2 - 6x + 8) = 0 \to (x-2)(x-4)=0 \to x=2, x=4$.
Para $x=2$: $y''(2) = -6 < 0$ (Máximo). Para $x=4$: $y''(4) = 6 > 0$ (Mínimo).
Inflexión: $6x-18=0 \to x=3$. Cóncava hacia arriba para $x>3$, abajo para $x<3$. - (f) $y = x^4 - 4x^3 + 12 \implies y' = 4x^3 - 12x^2 \implies y'' = 12x^2 - 24x$.
Puntos críticos: $4x^2(x-3)=0 \to x=0, x=3$.
$y''(3)=36>0$ (Mínimo). $y''(0)=0$ (Criterio no concluyente, pero por $y'$ se ve que es punto de ensilladura).
Inflexión: $12x(x-2)=0 \to x=0, x=2$.
$$ \boxed{\text{Resultados consistentes con los valores de respuesta proporcionados.}} $$