1. Datos y conceptos fundamentales
Una función $f(x)$ es creciente en un intervalo si su primera derivada es positiva ($f'(x) > 0$) y es decreciente si su primera derivada es negativa ($f'(x) < 0$).

2. Desarrollo parte (a)
Dada la función:
$$ y = x^5 + 20x - 6 $$
Calculamos la primera derivada respecto a $x$:
$$ y' = \frac{d}{dx}(x^5) + \frac{d}{dx}(20x) - \frac{d}{dx}(6) $$
$$ y' = 5x^4 + 20 $$
Analizamos el signo de $y'$:

• El término $x^4$ siempre es mayor o igual a cero para cualquier número real $x$ ($x^4 \geq 0$).
• Al multiplicar por $5$, se mantiene $5x^4 \geq 0$.
• Al sumar $20$, tenemos que $5x^4 + 20 \geq 20$.

Como $y' \geq 20$ para todo $x$, entonces $y' > 0$ siempre.
$$ \boxed{\text{La función es estrictamente creciente para todo } x \in \mathbb{R}} $$

3. Desarrollo parte (b)
Dada la función:
$$ y = 1 - x^3 - x^7 $$
Calculamos la primera derivada:
$$ y' = 0 - 3x^2 - 7x^6 = -(3x^2 + 7x^6) $$
Analizamos el signo de $y'$:

• $x^2 \geq 0$ y $x^6 \geq 0$ para todo $x$.
• Por lo tanto, $(3x^2 + 7x^6) \geq 0$.
• El valor de $y'$ será cero solo en $x=0$. Para cualquier otro valor, $y'$ será negativo debido al signo menos exterior.

Dado que $y' \leq 0$ y solo es cero en un punto aislado ($x=0$), la función es monótona decreciente.
$$ \boxed{\text{La función es decreciente para todo } x \in \mathbb{R}} $$