Ii
CAL1 • Aplicaciones_derivada
CALC_DER_252
Cálculo I
Enunciado
Paso 1:
Demostrar que las curvas $y = x^3 + 2$ y $y = 2x^2 + 2$ tienen una tangente común en el punto $(0, 2)$ e intersecan a un ángulo $\phi = \arctan \frac{4}{97}$ en el punto $(2, 10)$.
Demostrar que las curvas $y = x^3 + 2$ y $y = 2x^2 + 2$ tienen una tangente común en el punto $(0, 2)$ e intersecan a un ángulo $\phi = \arctan \frac{4}{97}$ en el punto $(2, 10)$.
Solución Paso a Paso
Sean $f(x) = x^3 + 2$ y $g(x) = 2x^2 + 2$. Sus derivadas son $f'(x) = 3x^2$ y $g'(x) = 4x$.
1. En el punto $(0, 2)$:
$f(0) = 2$ y $g(0) = 2$ (Punto de intersección).
Pendientes:
$m_1 = f'(0) = 3(0)^2 = 0$.
$m_2 = g'(0) = 4(0) = 0$.
Como $m_1 = m_2$, ambas curvas comparten la misma recta tangente (la recta horizontal $y = 2$).
2. En el punto $(2, 10)$:
$f(2) = 2^3 + 2 = 10$ y $g(2) = 2(2^2) + 2 = 10$ (Punto de intersección).
Pendientes:
$m_1 = f'(2) = 3(2^2) = 12$.
$m_2 = g'(2) = 4(2) = 8$.
3. Cálculo del ángulo $\phi$:
$$ \tan \phi = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{12 - 8}{1 + (12)(8)} \right| = \frac{4}{1 + 96} = \frac{4}{97} $$
Por lo tanto:
$$ \boxed{\phi = \arctan \frac{4}{97}} $$
1. En el punto $(0, 2)$:
$f(0) = 2$ y $g(0) = 2$ (Punto de intersección).
Pendientes:
$m_1 = f'(0) = 3(0)^2 = 0$.
$m_2 = g'(0) = 4(0) = 0$.
Como $m_1 = m_2$, ambas curvas comparten la misma recta tangente (la recta horizontal $y = 2$).
2. En el punto $(2, 10)$:
$f(2) = 2^3 + 2 = 10$ y $g(2) = 2(2^2) + 2 = 10$ (Punto de intersección).
Pendientes:
$m_1 = f'(2) = 3(2^2) = 12$.
$m_2 = g'(2) = 4(2) = 8$.
3. Cálculo del ángulo $\phi$:
$$ \tan \phi = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{12 - 8}{1 + (12)(8)} \right| = \frac{4}{1 + 96} = \frac{4}{97} $$
Por lo tanto:
$$ \boxed{\phi = \arctan \frac{4}{97}} $$