Demostrar: El punto de contacto de una tangente a una hipérbola es el punto medio del segmento de la tangente comprendido entre las asíntotas.

\begin{solucion}
Para simplificar la demostración sin pérdida de generalidad, utilizaremos la ecuación de la hipérbola referida a sus asíntotas como ejes coordenados, cuya ecuación es $xy = c^2$. En este sistema, las asíntotas son los ejes $x$ e $y$.

1. Datos del problema:

• Ecuación de la hipérbola: $y = \frac{c^2}{x}$
• Punto de tangencia: $P_0(x_0, y_0)$, donde $y_0 = \frac{c^2}{x_0}$.
• Asíntotas: Rectas $x = 0$ (eje $y$) y $y = 0$ (eje $x$).

2. Pendiente de la tangente:
Derivamos la función $y = c^2 x^{-1}$ con respecto a $x$:
$$ \frac{dy}{dx} = -c^2 x^{-2} = -\frac{c^2}{x^2} $$
En el punto $P_0(x_0, y_0)$, la pendiente $m$ es:
$$ m = -\frac{c^2}{x_0^2} $$

3. Ecuación de la recta tangente:
Usando la forma punto-pendiente $y - y_0 = m(x - x_0)$:
$$ y - \frac{c^2}{x_0} = -\frac{c^2}{x_0^2}(x - x_0) $$
Multiplicando toda la ecuación por $x_0^2$:
$$ x_0^2 y - x_0 c^2 = -c^2 x + x_0 c^2 \implies c^2 x + x_0^2 y = 2x_0 c^2 $$
Dividiendo entre $c^2$:
$$ x + \frac{x_0^2}{c^2} y = 2x_0 $$
Como $y_0 = \frac{c^2}{x_0}$, entonces $\frac{x_0}{y_0} = \frac{x_0^2}{c^2}$. Sustituyendo:
$$ x + \frac{x_0}{y_0} y = 2x_0 \implies \frac{x}{2x_0} + \frac{y}{2y_0} = 1 $$

4. Intersecciones con las asíntotas:

• Intersección con el eje $x$ ($y=0$): $A(2x_0, 0)$.
• Intersección con el eje $y$ ($x=0$): $B(0, 2y_0)$.

5. Punto medio del segmento $AB$:
Calculamos el punto medio $M$ del segmento comprendido entre las asíntotas:
$$ M = \left( \frac{2x_0 + 0}{2}, \frac{0 + 2y_0}{2} \right) = (x_0, y_0) $$
El punto medio $M$ coincide exactamente con el punto de contacto $P_0$.

$$ \boxed{M = P_0(x_0, y_0)} $$
\end{olucion}