Parte (a): Tangente en un punto de contacto
Derivamos implícitamente $b^2x^2 - a^2y^2 = a^2b^2$:
$$ 2b^2x - 2a^2y \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{b^2x}{a^2y} $$
En $P(x_0, y_0)$, la pendiente es $m = \frac{b^2x_0}{a^2y_0}$. La ecuación es:
$$ \begin{aligned} y - y_0 &= \frac{b^2x_0}{a^2y_0}(x - x_0) \\ a^2y_0y - a^2y_0^2 &= b^2x_0x - b^2x_0^2 \\ b^2x_0^2 - a^2y_0^2 &= b^2x_0x - a^2y_0y \end{aligned} $$
Como $b^2x_0^2 - a^2y_0^2 = a^2b^2$, entonces:
$$ \boxed{b^2x_0x - a^2y_0y = a^2b^2} $$

Parte (b): Tangente con pendiente m
Similar al caso de la elipse, sustituimos $y = mx + k$ en la hipérbola:
$$ b^2x^2 - a^2(mx + k)^2 = a^2b^2 \implies (b^2 - a^2m^2)x^2 - 2a^2mkx - (a^2k^2 + a^2b^2) = 0 $$
El discriminante $\Delta = 0$:
$$ \begin{aligned} (-2a^2mk)^2 - 4(b^2 - a^2m^2)(-a^2k^2 - a^2b^2) &= 0 \\ 4a^4m^2k^2 + 4(a^2b^2k^2 + a^2b^4 - a^4m^2k^2 - a^4m^2b^2) &= 0 \\ a^2b^2k^2 + a^2b^4 - a^4m^2b^2 &= 0 \end{aligned} $$
Dividiendo por $a^2b^2$: $k^2 + b^2 - a^2m^2 = 0 \implies k = \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$.
Sustituyendo en la recta:
$$ \boxed{y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}} $$