1. Datos del problema:

• Ecuación de la curva: $xy = 1$ (hipérbola equilátera).
• Punto exterior: $P_e(-1, 1)$.

2. Fórmulas y propiedades:

• Pendiente de la tangente mediante derivada: $m = \frac{dy}{dx}$.
• Ecuación de la recta punto-pendiente: $y - y_1 = m(x - x_1)$.

3. Desarrollo paso a paso:

Sea $P_0(x_0, y_0)$ el punto de tangencia sobre la curva. Como $P_0$ pertenece a $xy=1$, se cumple que $y_0 = \frac{1}{x_0}$.
Derivamos la función $y = \frac{1}{x} = x^{-1}$ para hallar la pendiente $m$ en términos de $x_0$:
$$ \frac{dy}{dx} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2} \implies m = -\frac{1}{x_0^2} $$
La ecuación de la recta tangente en $P_0$ es:
$$ y - \frac{1}{x_0} = -\frac{1}{x_0^2}(x - x_0) $$
Como la recta debe pasar por el punto $(-1, 1)$, sustituimos $x = -1$ y $y = 1$:
$$ 1 - \frac{1}{x_0} = -\frac{1}{x_0^2}(-1 - x_0) $$
Multiplicamos toda la ecuación por $x_0^2$ para eliminar denominadores:
$$ \begin{aligned} x_0^2 - x_0 &= -1(-1 - x_0) \\ x_0^2 - x_0 &= 1 + x_0 \\ x_0^2 - 2x_0 - 1 &= 0 \end{aligned} $$
Resolvemos mediante la fórmula cuadrática $x_0 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:
$$ x_0 = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2} $$
Obtenemos dos puntos de tangencia y sus respectivas pendientes:

• Para $x_{0_1} = 1 + \sqrt{2}$: $m_1 = -\frac{1}{(1+\sqrt{2})^2} = -\frac{1}{1+2+2\sqrt{2}} = -\frac{1}{3+2\sqrt{2}}$. Racionalizando: $-(3-2\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}-3$.
• Para $x_{0_2} = 1 - \sqrt{2}$: $m_2 = -\frac{1}{(1-\sqrt{2})^2} = -\frac{1}{1+2-2\sqrt{2}} = -\frac{1}{3-2\sqrt{2}}$. Racionalizando: $-(3+2\sqrt{2}) = -2\sqrt{2}-3$.

Sustituimos en la ecuación de la recta que pasa por $(-1, 1)$, $y - 1 = m(x + 1)$:
Recta 1: $y - 1 = (2\sqrt{2}-3)(x + 1) \implies y = (2\sqrt{2}-3)x + 2\sqrt{2}-3 + 1$
Recta 2: $y - 1 = -(2\sqrt{2}+3)(x + 1) \implies y = -(2\sqrt{2}+3)x - 2\sqrt{2}-3 + 1$

4. Resultado final:
$$ \boxed{y = (2\sqrt{2}-3)x + 2\sqrt{2}-2; \quad y = -(2\sqrt{2}+3)x - 2\sqrt{2}-2} $$